algebra linear

1 Defini¸˜o ca Espa¸o vetorial sobre um corpo K ´ um conjunto n˜o vazio V de elementos u, v, w, · · · , chamados de c e a . + ca vetores, munido das opera¸˜es soma + : V × V −→ V e multiplica¸˜o por escalar . : R × V −→ V, tais co que, para todos u, v, w de V e a e b reais tenha-se: A1 (u + v) + w = u + (v + w) A2 u+v=v+u A3 Existe um elemento 0, chamado vetor nulo, em V tal que u + 0 = 0 + u = u A4 Existe um elemento −u em V tal que u + (−u) = (−u) + u = 0 M1 a.(u + v) = a.u + a.v M2 (a + b).u = a.u + b.v M3 (ab).u = a.(bu) M4 1.u = u 3 1.1.1 Exemplos 1. O conjunto V = R2 = {(x, y)/x ∈ R, y ∈ R} munido das opera¸˜es + e . usuais ´ um espa¸o co e c vetorial. Prova: (A1) (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) + (x3 , y3 ) = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) + (x3 , y3 ) (A2) (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x2 , y2 ) + (x1 , y1 ) (A3) ∃ O = (0, 0) ∈ R2 /(0, 0) + (x1 , y1 ) = (x1 , y1 ) + (0, 0) = (x1 , y1 ) (A4) ∃ − (x, y) ∈ R2 /(x, y) + − (x, y) = (0, 0) (M1) a (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = a(x1 , y1 ) + a(x2 , y2 ) (M2) (a + b)(x1 , y1 ) = a(x1 , y1 ) + b(x1 , y1 ) (M3) (ab)(x1 , y1 ) = a b(x1 , y1 ) (M4) 1(x1 , y1 ) = (x1 , y1 ) 2. V = Rn = (x1 , x2 , x3 , · · · , xn )   a b  /a, b, c, d ∈ R 3. V = R2×2 = M(2, 2) =  c d 4. V = Pn (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn 5. V = Rm×n = M(m, n) 1.2 1.2.1 Subespa¸os vetoriais c Defini¸˜o ca Dado um espa¸o vetorial V, um subconjunto n˜o vazio W ser´ um subespa¸o vetorial de V se:…

1. Prove que se u, v são vetores l.i., então u + v, u − v também são l.i.. 2. Mostre que se dois vetores são l.d.,então eles são múltiplos entre si. 3. Do exercício anterior podemos concluir que os polinômios p(t) = 1 − 3t + 2t2 − 3t3 e q(t) = −3 + 9t − 6t2 + 9t3 são l.i.. 4. Se v1 , . . . , vn são l.i., então a igualdade α1 v1 + . . . + αn vn = β1 v1 + . . . + βn vn só vale se αi = βi para todo i = 1, . . . , n. 5. Determine se os seguintes vetores em R3 são l.d. ou não:…

vetorial 4.1.1. Vetores LI-Maximal 4.2. Dimensão de um espaço vetorial 4.2.1. Processo Prático para obter uma base de um subespaço do Rn 4.3. Mudança de base 4.4. Questões UNIDADE I: MATRIZES 3 I. MATRIZES 1. Definição; 2. Matrizes Especiais; 3. Operações; 3.1. Multiplicação de matrizes 4. Matriz Inversa; 5. Determinante; 6. Determinante pela Teoria de Laplace; 6.1. Menor i,j 6.2. Cofator i,j 6.3. Cálculo do determinante 7. Exercícios. 1. Definição Matriz é…

APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR CURSO: ENGENHARIA DE PETRÓLEO 1. Compreender o conceito de vetor. 2. Utilizar o cálculo com matrizes na resolução de sistemas lineares 3. Compreender o conceito de espaços vetoriais 4. Aplicar o conceito de Transformação Linear na resolução de problemas 5. Calcular Autovalores e Autovetores CONTEÚDO PROGRAMÁTICO: Unidade I - SISTEMAS LINEARES 1.1 Matrizes e Determinantes 1.2 Discussão e Resolução de Sistemas Lineares …

- Lista de Exerc´ıcios Exerc´ıcio 1: Considere os seguintes vetores em R3 . V1 = (1, −1, 1) V2 = (4, −2, 0) V3 = (0, −1, 2). (a) Estes vetores s˜ao LI ou LD? (b) Caso sejam LD, expresse um deles como combina¸c˜ao linear dos demais. Exerc´ıcio 2: Sejam U , V e W vetores quaisquer de Rn . Mostre que os vetores R = U + 3V − 2W , S = 4U + 7V + 2W e T = 5U + 8V + 4W s˜ao linearmente dependentes exibindo explicitamente uma combina¸c˜ao linear nula (n˜ao trivial) entre R, S e T .…

Lineares no R2 Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no R3 Sistema Homogêneo Resolução de Sistemas utilizando Inversão de Matrizes Exercícios Respostas 24 24 25 25 26 28 37 38 39 40 ESPAÇO VETORIAL REAL DE DIMENSÃO FINITA Definição Subespaço Vetorial Combinação Linear Subespaço Vetorial Gerado e Conjunto Gerador Vetores Linearmente Independentes e Dependentes Base e Dimensão de um Espaço Vetorial Operações com Subespaços Vetoriais Coordenadas de um Vetor em…

utilizando o Método de Eliminação Gaussiana Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no R2 Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no R3 Sistema Homogêneo Resolução de Sistemas utilizando Inversão de Matrizes Exercícios Respostas 24 24 25 25 26 28 37 38 39 40 ESPAÇO VETORIAL REAL DE DIMENSÃO FINITA Definição Subespaço Vetorial Combinação Linear Subespaço Vetorial Gerado e Conjunto Gerador Vetores Linearmente Independentes e Dependentes Base e…

2, 0)} , V = R3 . . . (c) S = {p0 , p1 , p2 , p3 } , V = P3 (R), onde . . . . p0 (t) = 1, p1 (t) = t p2 (t) = t2 e p3 (t) = 1 + t3 , t ∈ R. {( ) ( )} 0 1 0 0 . . (d) S = , , V = M2 (R). 0 0 −1 0 Exerc´ ıcio 2. Mostrar que os conjuntos {f1 , f2 , f3 } e {g1 , g2 , g3 } geram o mesmo subespa¸o vetorial do espa¸o c c vetorial C(R), onde . . . f1 (t) = sen2 (t), f2 (t) = cos2 (t), f3 (t) = sen(t) cos(t), e . g1 (t) = 1, . g2 (t) = sen(2t), . g3 (t) =…

Dias 22.08.2005 1. Sejam M = 0 uma matriz sim´etrica e N = 0 uma matriz anti-sim´etrica em M3 (R). Mostre que M e N s˜ao l.i.. 2. Determinar m e n para que os conjuntos de vetores dados abaixo sejam l.i. em R3 . (a) {(3, 5m, 1), (2, 0, 4), (1, m, 3)} (b) {(1, 3, 5), (2, m + 1, 10)} (c) {(m, 2, n), (3, m + n, m − 1)} 3. Mostre que o conjunto de vetores A = {1, x, x2 , 2 + x + 2x2 } de P3 (R) ´e l.d. e que qualquer subconjunto de A, com trˆes elementos ´e l.i.. 4. Mostrar que…

de pensar por si mesmo em termos das novas definições, incluímos no final de cada seção uma extensa lista de exercícios, onde a maioria dos exercícios dessas listas foram selecionados dos livros citados no final do texto. Devemos, porém, alertar aos leitores que os exercícios variam muito em grau de dificuldade, sendo assim, não é necessário resolver todos numa primeira leitura. No capítulo 1 apresentaremos as principais definições e resultados sobre matrizes e sistemas de equações…