geometria

plano CAPÍTULO 5 A reta no plano 5.1 Forma geral Toda reta do plano cartesiano está associada ao menos uma equação da forma + = 0 em que , , são números reais, ≠ 0 ou + ≠ 0, e ( , ) representa um ponto genérico de . Exemplo 1. Obter a equação da reta que passa por (4,3) e (0,7). Geometria Analítica Jhoab Negreiros Capítulo 5 A reta no plano 2 Exemplo 2. Obter a equação da reta da figura. Exemplo 3. Verificar se (2,2), 6 = 0. 5.2 (4,1) e (7, −1) pertencem à reta de equação +2 − Interseção de duas retas Todo ponto de interseção de duas retas tem de satisfazer as equações de ambas às retas. Portanto, obtemos o ponto comum ( , ) a duas retas concorrentes resolvendo o sistema formado pelas suas equações: ( ) ( ) ( ) + + Exemplo 4. Obter a interseção das retas ( ) − + + =0 =0 + 1 = 0 e ( )2 + − 2 = 0: Exemplo 5. Determinar a interseção das retas e indicadas no gráfico. Geometria Analítica Jhoab Negreiros Capítulo 5 A reta no plano Posições relativas de duas retas Dadas duas retas e elas podem ocupara apenas três posições relativas no plano cartesiano. • • • e concorrentes ⟺ um único ponto comum; e paralelas e distintas ⟺ nenhum ponto comum; e coincidentes ⟺ infinitos pontos comuns. Exemplo 6. Classifique as retas em concorrentes, paralelas ou coincidentes: (a) ( ) + 2 + 3 = 0 ( )2 + 3 + 4 = 0 (b) ( ) + 2 + 3 = 0 ( )3 + 6 + 1 = 0 …

definidas por r: kx - (k + 2)y = 2 e s: ky - x = 3k. Determine k de modo que: a) r e s sejam concorrentes b) r e s sejam paralelas c) r e s sejam coincidentes. Solução. Pela definição, retas concorrentes possuem um ponto de interseção, as paralelas nenhum ponto de interseção e as coincidentes, todos seus pontos são de interseção. Nos termos de Geometria Analítica, analisamos os coeficientes angulares das retas: . a) retas concorrentes possuem os…

verdadeira, então P r. Substituindo as coordenadas de Q em x - y + 2 = 0, obtemos: 1 - 2 + 2 0 Como a igualdade não é verdadeira, então Q r. Equação segmentária Considere a reta r não paralela a nenhum dos eixos e que intercepta os eixos nos pontos P(p, 0) e Q(0, q), com : A equação geral de r é dada por: Dividindo essa equação por pq , temos: Como exemplo, vamos determinar a equação segmentária da reta que passa por P(3, 0) e Q(0, 2), conforme o…

da reta - GABARITO 1) Determine o valor de m para que os pontos sejam alinhados: A(5, m ), B( 1, 2 ) e C( 3, - 4 ). Solução. Calculando o determinante por Laplace na 1ª linha e igualando a zero, temos: 2) Em cada caso calcule o coeficiente angular e linear da reta que passa pelos pontos dados e faça o gráfico correspondente. (a) (b) (c) Solução. O coeficiente angular m vale a razão da diferença entre as ordenadas e das abscissas. a) . O coeficiente…

Cálculo do coeficiente angular – Retas paralelas e perpendiculares – Interseção de retas – Distância de um ponto a uma reta Equação fundamental da reta • Podemos representar uma reta r do plano cartesiano por meio de uma equação. Essa equação pode ser obtida a partir de um ponto A(xA , yA) e do coeficiente angular m dessa reta. • Considere uma reta r não vertical, de coeficiente angular m, que passa pelo ponto A(xA , yA). Vamos obter a equação dessa reta, tomando um ponto P(x, y) tal…

a circunferência [pic], seja y = a x + b a reta tangente à circunferência no ponto ( 2, 2). Determine o valor de a + b. Resp: 3 Solução: Centro e raio da circunferência: C (0, 0) e raio r = [pic] O ponto ( 2, 2) pertence a circunferência, pois 4 + 4 = 8. Cálculo do coeficiente angular da tangente: Coeficiente angular da reta que liga o centro ao ponto (2, 2); [pic] Coeficiente angular da tangente: m = - 1 Reta tangente: y – 2 = - 1 (x – 2) [pic]y – 2 = - x + 2 [pic]y = - x + 4…

circunferência no ponto ( 2, 2). Determine o valor de a + b. Resp: 3 Solução: Centro e raio da circunferência: C (0, 0) e raio r = O ponto ( 2, 2) pertence a circunferência, pois 4 + 4 = 8. Cálculo do coeficiente angular da tangente: Coeficiente angular da reta que liga o centro ao ponto (2, 2); Coeficiente angular da tangente: m = - 1 Reta tangente: y – 2 = - 1 (x – 2) y – 2 = - x + 2 y = - x + 4 e a + b = 3 02)(Fuvest) Qual a equação da circunferência tangente ao eixo dos…

circunferência no ponto ( 2, 2). Determine o valor de a + b. Resp: 3 Solução: Centro e raio da circunferência: C (0, 0) e raio r = O ponto ( 2, 2) pertence a circunferência, pois 4 + 4 = 8. Cálculo do coeficiente angular da tangente: Coeficiente angular da reta que liga o centro ao ponto (2, 2); Coeficiente angular da tangente: m = - 1 Reta tangente: y – 2 = - 1 (x – 2) y – 2 = - x + 2 y = - x + 4 e a + b = 3 02)(Fuvest) Qual a equação da circunferência tangente ao eixo dos…

* INTRODUÇÃO AO CÁLCULO “Aprender Cálculo pode ser sua experiência educacional mais empolgante e estimulante pois é a base para quase toda a Matemática e para muitas das grandes realizações no mundo moderno”. (Louis Leithold) RETAS E COORDENADAS O plano cartesiano A criação da Geometria Analítica é atribuída a René Descartes (1596-1650) que usou a técnica do plano numérico (R2) por volta de 1637. Os eixos x e y Trata-se da disposição de dois eixos imaginários, dispostos um na vertical…

de: a) A(-2,4) em relação ao eixo das abscissas. (-2,-4) b) B(6,-2) em relação ao eixo das ordenadas. (-6,-2) 2. Se A(a,b) está situado no segundo quadrante, em que quadrante está situado B(a,-b)? (quarto) 3. Se M(m,n) está no quarto quadrante, determine em que quadrante se situa: a) A(-m,-n) (segundo) b) B(m,-n) (primeiro) 4. Calcule a distância entre os pontos A(1,2) e B(5,5). (5) 5. Calcule a distância entre os…