INTEGRAIS DUPLAS

INTEGRAIS DUPLAS VOLUMES E INTEGRAIS DUPLAS Na tentativa de resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de integral definida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido e, no processo, chegar à definição de integral dupla. Consideremos uma função f de duas variáveis definida em um retângulo fechado R = [a,b] x [c,d] = {(x,y) IR2| a < x < b, c < y < d } e vamos, inicialmente, supor f(x,y) > 0. O gráfico de f é a superfície de equação z = f(x,y). Seja S o sólido que está contido na região acima de R e abaixo do gráfico de S, ou seja, S = {(x,y,z) IR3| (x,y)  R, 0 < z < f(x,y)} Nosso objetivo é determinar o volume de S. O primeiro passo consiste em dividir o retângulo R em sub-retângulos. Faremos isso dividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos [xi-1 , xi], de mesmo comprimento x = (b – a) / m, e o intervalo [c,d] em n subintervalos [yj-1 , y j], de mesmo comprimento y = (b – a) / n. traçando retas paralelas aos eixos coordenados passando pelos extremos dos subintervalos, formamos os sub-retângulos. Rij = [x i-1,x i] x [y j-1,y j ] = {(x,y) | x i-1 < x < x i , y j-1 < y < y j } cada um dos quais com área A = xy. Se escolhermos um ponto arbitrário (xij , yij) em cada Rij, podemos aproximar a parte de S que está acima de cada Rij por uma caixa…

Mudanças de Coordenadas em Integrais Duplas e Coordenadas Polares Felipe Pereira Heitmann www.felipeheitmann.com Mudanças de Coordenadas • Uma mesma região pode ser representada em coordenadas diferentes. X e Y como funções e u e v • Para fazer a mudança entre coordenadas é necessário escrever os termos X e Y em função das novas variáveis u e v. Reescrevendo a integral Transformando Regiões em retângulos • Mudanças de coordenadas tentam transformar regiões…

Integrais Múltiplas Enquanto as funções de uma variável são, geralmente, integradas em intervalos, as funções de duas variáveis são usualmente integradas em regiões do espaço bidimensional e as funções de três variáveis em regiões do espaço tridimensional. A integral definida de uma função de uma variável originou-se do problema da determinação de áreas sob curvas. nb a xxfdxxf ∆= As integrais de funções de duas variáveis originam-se do problema da determinação de volumes sob…

´ CALCULO III - MAT 211- IMEUSP- 1ö Semestre de 2012 Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira INTEGRAL DUPLA: TEOREMA DE FUBINI E ´ TEOREMA DE MUDANCA DE VARIAVEIS ¸ Defini¸˜es. co Parti¸˜o. Sejam a, b, c, e d quatro n´ meros reais. Consideremos no ca u plano cartesiano Oxy o retˆngulo a R = [a, b] × [c, d] = {(x, y) ∈ R2 ∶ a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d}. Consideremos tamb´m as parti¸˜es arbitr´rias e co a ⎧ ⎪ P1 = {a = x0 < x1 < ... < xn = b}, do intervalo [a, b],…

2.2 Integrais Duplos Anteriormente estudaram-se os integrais da forma quer para funções definidas e limitadas em intervalos limitados quer para funções não limitadas em intervalos ilimitados. Em seguida generalizou-se o conceito de integral introduzindo os integrais de linha. Agora estudaremos integrais em que, em vez de intervalos unidimensionais teremos um conjunto bidimensional R, chamado região de integração, e a função integranda é um campo escalar definido e limitado em R. O…

INTEGRAIS DUPLAS Danilo Sande Santos SUMÁRIO ¢ Definição e interpretação geométrica; ¢ Propriedades das Integrais duplas; ¢ Cálculo das integrais duplas; ¢ Mudança de variáveis nas integrais duplas; ¢ Integrais duplas em coordenadas polares; ¢ Aplicações de Integrais Duplas; ¢ Referências. DEFINIÇÃO E INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA Uma integral dupla de uma função positiva é um volume, que é o limite das somas dos volumes de colunas retangulares. DEFINIÇÃO E…

Calculo Integral II Professora Roberta Porto 2013 INTEGRAIS DUPLAS INTEGRAIS DUPLAS INTEGRAIS DUPLAS INTEGRAIS DUPLAS INTEGRAIS DUPLAS INTEGRAIS DUPLAS INTEGRAIS DUPLAS Se f for contínua no retângulo R = { (x,y) | a < x < b, c < y < d }, então calculamos a integral dupla de f em R através de integrais iteradas, como mostrado abaixo: INTEGRAIS DUPLAS Exemplo 1: Qual o volume do sólido que está acima do quadrado R = [0,2] x [0,2] e…

1. Introdução Desde sua criação, integrais tem uma infinidade de aplicações praticas, graças a elas, inúmeras descobertas foram feitas, entre elas a primeira aproximação do numero “pi”, por Arquimedes. Neste trabalho, pretende-se explicar e exemplificar algumas das aplicações práticas para integrais múltiplas e dar uma breve explicação sobre seus conceitos. A importância das integrais múltiplas se estende da matemática para áreas da física e até mesmo da matemática no espaço…

INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Gabriel Felipe da Silva Licenciado em Matemática Joinville – Santa Catarina 2 INTRODUÇÃO: O presente material tem por objetivo, apresentar de maneira simples clara e objetiva as Integrais Múltiplas. Aqui ficamos limitados a conhecer as integrais duplas e triplas, sendo as demais possíveis de calcular de maneira análoga. Dentro do conteúdo de integrais duplas, encontram-se as definições, interpretações…

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL JOSÉ ANTONIO LOURENÇO FILHO CALCULO II APLICAÇÃO DE INTEGRAIS DUPLAS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE JABOATÃO DOS GUARARAPES Integrais Duplas Conceito Ao se considerar uma função, delimitada e fechada em uma região D, podemos “encher” D com formas simples como paralelepípedos. Podemos transformar o volume em uma somatória: Ao que se aproximado volume da região D, a diagonal desses paralelepípedos diminui continuamente, tendendo a 0 conforme o…