Integrais Duplas 1

INTEGRAIS DUPLAS

Danilo Sande Santos

SUMÁRIO
¢ Definição

e interpretação geométrica;
¢ Propriedades das Integrais duplas;
¢ Cálculo das integrais duplas;
¢ Mudança de variáveis nas integrais duplas;
¢ Integrais duplas em coordenadas polares;
¢ Aplicações de Integrais Duplas;
¢ Referências.

DEFINIÇÃO E INTERPRETAÇÃO
GEOMÉTRICA

Uma integral dupla de uma função positiva é um volume, que é o limite das somas dos volumes de colunas retangulares.

DEFINIÇÃO E INTERPRETAÇÃO
GEOMÉTRICA

Vamos considerar uma função z = f(x,y) positiva, definida em uma região fechada e limitada R do plano xy.
Traçando retas paralelas aos eixos x e y, cobrimos a região R com pequenos retângulos. z = f (x, y)

DEFINIÇÃO E INTERPRETAÇÃO
GEOMÉTRICA

Vamos considerar somente os retângulos Ri totalmente contidos em
R, numerando-os de 1 até n.
Escolhendo um ponto (xi,yi) em um dado retângulo Ri, podemos calcular o volume aproximado entre z = f(x,y) e esse retângulo.

V ≈ f (xi , yi )ΔAi = f (xi , yi )Δxi Δyi

DEFINIÇÃO E INTERPRETAÇÃO
GEOMÉTRICA

Somando o volume de todos os prismas retos gerados como os da figura anterior, temos uma aproximação do volume do espaço entre a função e o plano xy. n V ≈ ∑ f (xi , yi )Δxi Δyi i=1 DEFINIÇÃO E INTERPRETAÇÃO
GEOMÉTRICA

Tomando o limite dessa soma, quando o número de retângulo tende para infinito, obtemos o volume delimitado pela função z = f(x,y) e o plano xy. n V = lim ∑ f (xi , yi )Δxi Δyi = n→∞ i=1

∫∫ f (x, y)dx dy
R

PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DUPLAS
Supondo f(x,y) e g(x,y) contínuas sobre a região R:

a) ∫∫ kf (x, y)dA = k ∫∫ f (x, y)dA
R

R

b) ∫∫ [ f (x, y) + g(x, y)]dA =
R

∫∫ f (x, y)dA + ∫∫ g(x, y)dA
R

R

Se f(x,y) ≥ g(x,y) para todo (x,y) pertencente `a R, então:

c) ∫∫ f (x, y)dA ≥
R

∫∫ g(x, y)dA
R

Se f(x,y) ≥ 0 para todo (x,y) pertencente `a R, então:

d) ∫∫ f (x, y)dA ≥ 0
R

PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DUPLAS
Se a região R é composta de duas sub-regiões R1 e R2 que não possuem pontos em comum, exceto