Integrais multiplas

Capítulo 5 – Integrais Múltiplas
1. Revisão de Integral de Funções a uma Variável 1.1. Integral Indefinida será chamada de antiderivada ou primitiva , para todo I.

Definição: Uma função de uma função

num intervalo I se

O processo de se determinar todas as antiderivadas de uma função é chamado antidiferenciação ou integração. Para indicar que a operação de integração deve ser executada sobre uma função , usamos a notação:

o que nos diz que a integral indefinida de , onde .

é a família de funções dada por

Uma vez que integração e diferenciação são processos inversos tem-se:

1.2.

Tabela de Algumas Integrais Indefinidas

Podemos usar qualquer fórmula de derivada para obter uma fórmula correspondente de integral indefinida que chamamos de integral imediata.

com Ž Ž

Ž

Ž

Exemplos:

Ž

1.3.

Principais Propriedades das Integrais Indefinidas

Exemplos: …‘•

…‘•

…‘•

…‘•

1.4.

Técnicas de Integração – Método da Substituição . Uma

Seja uma função composta e primitiva de , ou seja, vez que integração e diferenciação são processos inversos tem-se:

Utilizando a regra da cadeia para derivar a função composta tem-se:

Método da Substituição

­

Diretrizes para o método da substituição: 1) Decidir por uma substituição favorável 2) Calcular o diferencial 3) Transformar o integrando apenas em função de . 4) Calcular a antiderivada envolvendo . 5) Substituir variável . 6) por na antiderivada. O resultado deve conter apenas a

Exemplos: Calcular as integrais indefinidas indicadas abaixo:

…‘•

…‘•

Ž

Ž

…‘•

…‘•

1.5. Se

Técnicas de Integração – Integração por Partes e são funções diferenciáveis, então pela regra do produto:

Integrando ambos os lados:

Integração por Partes

­Ù

ž

Esta fórmula expressa a integral em função de outra integral, . Escolhendo adequadamente ‡ pode ser mais fácil calcular a 2ª do que a 1ª integral. Quando escolhemos as substituições