integrais multiplas

Introdução[editar | editar código-fonte]
Assim como a integral definida de uma função positiva de uma variável representa a área entre o gráfico e o eixo x, a integral dupla de uma função de duas variáveis representa o volume entre o gráfico e o plano que contém seu domínio. Se houver mais de duas variáveis, a integral representa o hipervolume de funções multidimensionais.

Integrais múltiplas de uma função de n variáveis sobre um domínio D são geralmente representadas por sinais de integrais juntos na ordem reversa de execução (a integral mais à esquerda é computada por último) seguidos pela função e pelos símbolos de diferenciais das variáveis de integração na ordem apropriada (a variável mais à direita é integrada por último). O domínio de integração é representado simbolicamente em todos os sinais de integração ou é, freqüentemente, abreviado por uma letra no sinal de integração mais à direita:

\int\!\!\int\!\!\ldots\int_D\,f(x_1,x_2,\ldots ,x_n)\,dx_1\,dx_2\ldots dx_n
Uma vez que é impossível calcular a primitiva de uma função de múltiplas variáveis, não existem integrais múltiplas indefinidas. Assim, todas as integrais múltiplas são definidas.

Exemplos[editar | editar código-fonte]
Por exemplo, o volume do paralelepípedo de lados 4, 5 e 6 pode ser calculado usando:

A integral dupla
\int\!\!\int_D\,5\,dx\,dy
da função f(x,y)=5 na região D no plano xy que forma a base do paralelepípedo.

A integral tripla
\int\!\!\int\!\!\int_D\,1\,dx\,dy\,dz
da função constante unitária sendo D o próprio paralelepípedo.

Definição[editar | editar código-fonte]
Assim como nas integrais de uma variável, a integral múltipla pode ser definida a partir de uma Soma de Riemann1 2 .

Integral múltipla sobre uma região retangular[editar | editar código-fonte]

Esboço de uma partição C de uma região retangular T = [a_1,~b_1)\times [a_2,~b_2).
Consideramos T\subset\mathbb{R}^n um retângulo de n\geq 1 dimensões semi-aberto: