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Resolução dos exercícios de GONÇALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Cálculo B: Funções de várias variáveis, integrais
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 18 – 20.

CAPÍTULO 1
1.4 Exercícios — pág 18
(1 a 11)
Observação para o leitor: os gráficos apresentados foram construídos em softwares livres.
Em geral os de duas dimensões foramrealizados com o Graph (http://www.padowan.dk) e
os gráficos de três dimensões com o Winplot (http://math.exeter.edu/rparris).
1. Encontrar uma função de várias variáveis que nos dê:
a) O comprimento de uma escada apoiada como na figura 1.35.

H 2  L2  C 2
C  H 2  L2
C H , L  H 2  L2 .
b) O volume de água necessário para encher uma piscina redonda de x metros de raio e
y metros de altura.V x, y    x 2 y .

c) A quantidade de rodapé, em metros, necessária para se colocar numa sala retangular
de largura a e comprimento b.

f a, b  2a  2b .
d) A quantidade, em metros quadrados, de papel de parede necessária para revestir as
paredes laterais de um quarto retangular de x metros de largura, y metros de
comprimento, se a altura do quarto é z metros.

f x, y, z   2yz  2 xz .
e) O volume de um paralelepípedo retângulo de dimensão x, y e z.

V x, y, z   x y z .
f) A distância entre dois pontos Px, y, z  e Qu, v, w .

d x, y, z , u, v, w 

x  u 2   y  v2  z  w2 .

1

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múltiplas, integrais curvilíneas e desuperfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 18 – 20.

g) A temperatura nos pontos de uma esfera se ela, em qualquer ponto, é
numericamente igual à distância do ponto ao centro da esfera.
Para uma esfera centrada em x0 , y0 , z 0  temos:

T x, y, z  

x  x0 2   y  y0 2  z  z0 2 .

2. Uma loja vende certo produto P de duas marcas distintas A e B. A demanda do
produto commarca A depende do seu preço e do preço da marca competitiva B. A
demanda do produto com marca A é
D A  1300  50 x  20 y unidades/mês
e do produto com marca B é
DB  1700  12 x  20 y unidades/mês
onde x é o preço do produto A e y é o preço do produto B.
Escrever uma função que expresse a receita total mensal da loja, obtido com a venda
do produto P.
Receita = (número de unidades A pormês) x + (número de unidades B por mês) y

Rx, y   1300  50 x  20 y x  1700  12 x  20 y  y
 1300 x  50 x 2  20 xy  1700 y  12 xy  20 y 2
 1300 x  1700 y  50 x 2  20 y 2  32 xy.
3. Determinar o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções:
a) z  3  x  y
D z   2

Imz   

b) f x, y   1  x 2  y 2

D f    2

Im f   1,  
c) z  9 x 2  y 2 
Temos que:
9  x2  y2  0





x  y 9
Assim,
2

2

2

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múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 18 – 20.





Dz   x, y   2 / x 2  y 2  9

Imz   0,3

d) w  e x

2

 y2 z2Dw   3

Imw  1,

e) f x, y, z   x 2  y 2  z 2
Temos que:
x2  y2  z 2  0
Assim,
D f   x, y, z   3 / x 2  y 2  z 2  0  3



Im f   0,    



f) f x, y   2 x  5 y  4
D f    2

Im f   

g) z  x 2  y 2  2
D z    2

Imz    2,

h) f x, y   2 x 2  5 y
D f    2

Im f   

i) w  4  x 2  y 2Dw   2

Imw  4,

j) f x, y   4  x 2  y 2
D f    2

Im f    ,4

4. Determinar o domínio das seguintes funções e representar graficamente:
a) z  xy
3

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