Integral

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INTEGRAIS DUPLAS

VOLUMES E INTEGRAIS DUPLAS

Para calcularmos o volume se um sólido com integral dupla o processo é semelhante a integral definida.
Considerando uma função f de duas variáveis definida em um retângulo fechado
R = [a,b] x [c,d] = {(x,y) IR2| a < x < b, c < y < d }










f(x,y) > 0. O gráfico de f é a superfície de equação z = f(x,y).Seja S o sólido que está contido na figura acima de R e abaixo do gráfico de S, ou seja,
S = {(x,y,z) IR3| (x,y)  R, 0 < z < f(x,y)}

O objetivo é determinar o volume de S.


O primeiro passo consiste em dividir o retângulo R em sub-retângulos. Dividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos [xi-1 , xi], de mesmo comprimento x = (b – a) / m, e o intervalo [c,d] em nsubintervalos [yj-1 , y j], de mesmo comprimento y = (b – a) / n. traçando retas paralelas aos eixos coordenados passando pelos extremos dos subintervalos, formamos os sub-retângulos.
Rij = [x i-1,x i] x [y j-1,y j ] = {(x,y) | x i-1 < x < x i , y j-1 < y < y j }
cada um dos quais com área A = xy.






















Se escolher um ponto arbitrário (xij , yij) em cada Rij,pode-se aproximar a parte de S que está acima de cada Rij por uma caixa retangular fina (ou um prisma) com base Rij e altura f(xij , yij). O volume desta caixa é dado pela sua altura vezes a área do retângulo da base:
Vij = f(xij , yij)A.
Se seguirmos com esse procedimento para todos os retângulos e somarmos os volumes das caixas correspondentes, obteremos uma aproximação do volume total de S:V 
Essa dupla soma significa que, para cada sub-retângulo, calculamos o valor de f no ponto amostra escolhido, multiplicamos esse valor pela área do sub-retângulo e, então, adicionamos os resultados.

































V  melhora quando aumentamos os valores de m e de n e, portanto, devemos esperar que:
V = .
Usamos essa expressão paradefinir o volume do sólido S que correspondem à região que está acima do retângulo R e abaixo do gráfico de f.
Mesmo f não sendo uma função positiva, podemos dar a seguinte definição:

A integral dupla de f sobre o retângulo R é

se esse limite existir.

Pode ser provado que o limite existe sempre que f for uma função contínua.
Além disso, se f(x,y) > 0, então o volume do sólido que estáacima do retângulo R e abaixo da superfície z = f(x.y) é
.
A soma é chamada soma dupla de Riemann e é usada como aproximação do valor da integral dupla.

Exemplo 1: O volume do sólido que está acima do quadrado R = [0,2] x [0,2] e abaixo do parabolóide elíptico z = 16 – x2 – 2y2 pode ser aproximado pela subdivisão de R em quatro quadrados iguais e a escolha do ponto amostra como o cantosuperior de cada quadrado Rij.











Solução: Os quadrados estão ilustrados na figura acima e a área de cada um vale 1. O parabolóide é o gráfico de f(x,y) = 16 – x2 – 2y2. Aproximando o volume pela soma de Riemann com m = n = 2, temos:
= f(1,1)A + f(1,2) A + f(2,1) A + f(2,2) A
= 13(1) + 7(1) + 10(1) + 4(1) = 34
Esse é o volume das caixas aproximadoras, como mostra afigura abaixo:






Obtemos melhor aproximação do volume quando aumentamos o número de quadrados. A figura abaixo mostra como as figuras começam a parecer mais com o sólido verdadeiro e as aproximações correspondentes vão se tornando mais precisas quando usamos 16, 64 e 256 quadrados.











INTEGRAIS ITERADAS

Se f for contínua no retângulo R = { (x,y) | a < x < b, c< y < d }, então calculamos a integral dupla de f em R através de integrais iteradas, como mostrado abaixo:



Este resultado, conhecido como Teorema de Fubini, vale sempre que f for limitada em R, podendo ser descontínua em um número finito de pontos de R.






Exemplo 2: Calcule o valor da integral , onde R = [0,3] x [1,2]








Solução: = = = =
= =
ou
= = = =...
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