calculo integral dupla

392 palavras 2 páginas
Calculo Integral II

Professora Roberta Porto
2013

INTEGRAIS DUPLAS

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INTEGRAIS DUPLAS

Se f for contínua no retângulo R = { (x,y) | a < x < b, c < y < d }, então calculamos a integral dupla de f em R através de integrais iteradas, como mostrado abaixo:

INTEGRAIS DUPLAS

Exemplo 1: Qual o volume do sólido que está acima do quadrado R =
[0,2] x [0,2] e abaixo do parabolóide elíptico z = 30 – x2 – 2y2

INTEGRAIS DUPLAS

Exemplo 2: Calcule o valor da integral

x 2 ydA , onde R = [0,3] x [1,2]

R

INTEGRAIS DUPLAS

Exemplo 3: Calcule

 y sen(xy)dA

, onde R = [1,2] x [0,].

R

Ob.: ordem de integração.... observar o tipo de função.... fazer uma boa escolha da ordem de integração. INTEGRAIS DUPLAS

Exemplo 3: Calcule

 y sen(xy)dA

, onde R = [1,2] x [0,].

R

2) O valor obtido nesta integral representa a diferença do volume da parte do sólido que está acima do retângulo R e do volume da parte do sólido que está abaixo de R. Como o resultado foi zero, estes volumes são iguais.

INTEGRAIS DUPLAS

Exemplo 4: Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 20, os planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados. INTEGRAIS DUPLAS

1) Regiões planas inscritas em faixas verticais:

D = { (x,y) | a < x < b, g1(x) < y < g2(x) b g2 (x)

 f (x, y)dA    f (x, y)dydx
D

a g1 ( x )

INTEGRAIS DUPLAS

1) Regiões planas inscritas em faixas horizontais:

D = { (x,y) | c < y < d, h1(y) < x < h2(y) } d h2 (x)

 f (x, y)dA    f (x, y)dxdy
D

c h1 ( x )

INTEGRAIS DUPLAS

Exemplo 5: Calcule

 (x  2y)dA
D

onde D é a região limitada pelas parábolas

y = 2x2 e y = 1 + x2

INTEGRAIS DUPLAS

Exemplo 5: Calcule

 (x  2y)dA
D

onde D é a região limitada pelas parábolas

y = 2x2 e y = 1 + x2

INTEGRAIS

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