Integrais duplas e triplas

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INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

Gabriel Felipe da Silva

Licenciado em Matemática

Joinville – Santa Catarina

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INTRODUÇÃO:
O presente material tem por objetivo, apresentar de maneira simples clara e objetiva as Integrais Múltiplas. Aqui ficamos limitados a conhecer as integrais duplas e triplas, sendo as demais possíveis de calcular de maneiraanáloga. Dentro do conteúdo de integrais duplas, encontram-se as definições, interpretações geométricas, propriedades e aplicações das mesmas,

objetivando auxiliar aos alunos do curso de Matemática a alcançarem o conhecimento das Integrais Múltiplas e saber aplicá-las com eficiência.

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1. INTEGRAL DUPLA
Vamos estudar a integral dupla, que constitui uma extensão natural do conceito de integralsimples. Através dela analisaremos situações como cálculos de volumes e áreas, aplicações físicas e em outros campos da matemática. Devido à dificuldade para se fazer um tratamento matemático rigoroso, as idéias são mostradas aqui de maneira mais informal, visando a fácil compreensão dos conceitos. Alguns cálculos não estão demonstrados nesse material, mas podem ser encontrados em livros deCálculo Diferencial e Integral.

1.1 Definição: Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis definida numa região fechada e limitada R do plano xy.

Figura 1

Traçando retas paralelas aos eixos x e y, respectivamente, recobrimos a região R por pequenos retângulos. Considerando os retângulos que estão inteiramente contidos em R e numerando-os de 1 a n, a área de um destes corresponde a ∆Ak = ∆xk .∆yk. Multiplicando pela função teremos o volume dos n retângulos

considerando a base xy e a superfície z = f(x,y) teremos:

 f (x
k 1

n

k

, y k )Ak

4 Se aumentar n a um número muito elevado, o volume tenderá a se aproximar do volume delimitado pela região R tendo como base o plano xy e como superfície z = f(x,y), ou seja:
lim  f ( x k , y k )Ak
n  k 1 n

que equivale aintegral dupla de f(x, y) sobre a região R:

 f ( x, y)dA
R

ou

 f ( x, y)dxdy
R

Correspondente ao volume do sólido delimitado superiormente por z = f(x,y) > 0 e inferiormente pela região R e lateralmente pelo “cilindro” vertical cuja base é o contorno de R. 1.2 Interpretação Geométrica: 1.2.1 Volume: Uma interpretação geométrica do conceito de Integral Dupla é como volume abaixodo gráfico da função acima do eixo xy. Para essa interpretação ser correta assumiremos que a função é não negativa em todos os pontos da região de integração.

Figura 2

Considere o sólido:

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U  {( x, y, z)  R 3 | ( x. y)  R,0  z  f ( x, y)}

Esse sólido é a região do espaço acima e abaixo do gráfico de f (ver figura 2). Observamos que Sm,n (f,R) corresponde a soma dosparalelepípedos com base Ri,j e altura f (xi, yj), o que é uma aproximação para o volume de U. Na medida em que os lados de Ri,j vão diminuindo, essa aproximação vai ficando melhor. Na verdade pode-se mostrar que o limite das somas de Riemann na função f na região R é exatamente o volume de U. Em outras palavras:

 f ( x, y)dA  V (U )
R

É interessante observar a analogia com integrais de funções comuma variável. No caso de uma função positiva de uma variável, o gráfico é uma curva em R² e a integral pode ser interpretada como a área abaixo desse gráfico e acima do intervalo de integração. No caso de funções positivas de duas variáveis, o gráfico é uma superfície em R³, e a integral é interpretada como o volume abaixo do gráfico e acima da região de integração. 1.2.2 Área:

Vimos nainterpretação geométrica da Integral Dupla que

 f ( x, y)dA
R

para f ( x, y)  0 nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z  f ( x, y) , inferiormente pela região R e lateralmente pelo “cilindro” vertical cuja base é o contorno da região R. Se na expressão fazemos
f ( x, y)  1 , obtemos:

 dA
R

Que nos dá a área da região de integração R.

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