teorema do confronto

n. 15 – TEOREMA DO CONFRONTO, OU TEOREMA DO SANDUÍCHE OU TEOREMA DA ESPREMEDURA O Teorema do Confronto, diz respeito a três funções ( ) ( ) ( ), tais que: ( ) esteja entre ( ) Se então ( ) para todo , ( ) ( ). ( ) e . Exemplos: 1. Seja uma função tal que ( ) Encontre o ( ). Logo, temos que calcular os limites laterais, ou seja, o limite de g(x) quando  ( )  ( ) , ( ) ( ) Logo, aplicando o Teorema do Confronto, temos que ( ) é tal que ( ) ( ) ( ) 2. Sejam f , g, e h as funções definidas por ( ) ( ( ) ( ( ) ) )( ( Encontre o ) ) ( ). Analisando as funções ( ) ( ) observamos que as duas representam parábolas, entretanto com concavidades opostas: ( ) tem concavidade voltada para baixo, pois o “a” é negativo, já ( ) tem concavidade voltada para cima, uma vez que o “a” é positivo. ( ) ( ) Calculando os vértices:  zeros da função f(x): )( ( ) ( ), corta o eixo x, e possui 2 raízes reais.  como  Vértice da parábola: ( ) ( ) ( ( ( ) ) ( ) ) ( )  zeros da função h(x): ( ( ) ) ( ), portanto, não corta o eixo x, não possui  como zeros reais.  Vértice da parábola: ( ) Portanto, o ( ) ( ) ( ( ) ( ) eo ( ) ( ) ) ( ) ( ) Analisando a função ( ) ( )( ) observamos que ela não é definida para x = 2 ( ) ( )( ) Dessa…

Conteúdo 1. Continuidade de uma função em um número 3 1.1. Definição: 3 1.2. Propriedades das Funções Contínuas 4 1.3. Teoremas 5 2. Continuidade em um intervalo 5 2.1. Teorema do limite da função composta 5 2.2. Teorema 5 2.3. Definição 5 2.4. Definição 6 2.5. Definição 6 3. Teorema do valor intermediário 6 4. Continuidade das funções trigonométricas 7 4.1. Teorema do sanduiche 7 4.2. Teorema 8 4.3. Teorema 9 4.4. Teorema 10 4.5. Teorema 10 4.6. Teorema 11 4.7. Teorema 12 5.…

TEOREMA DO SANDUICHE sen( x) . x →∞ x sen( x) . Reparemos que Sol. Dado x > 0 vamos avaliar a expressão lim x →+∞ x 1 sen( x) 1 −1 ≤ sen( x) ≤ 1∴− ≤ ≤ . Por fim, escrevemos: x x x 1 1 sen( x) 1 sen( x) 0 = −1 ⋅ lim = lim − ≤ lim ≤ lim = 0 . Assim, no caso de ∃ lim . x →+∞ x x →+∞ x →+∞ x →+∞ x x →+∞ x x x 1 sen( x) 1 Por outro lado, se ocorrer que x < 0 ∴−1 ≤ sen( x) ≤ 1 → − ≥ ≥ e segue o x x x mesmo procedimento. Exemplo: Decidir a…

TEOREMAS SOBRE LIMITES Teorema 1: ~ Teorema 2: ~ I) ~ II) Teorema 3: ~ Se o e existirem ambos, então: - I) - II) - III) - IV) - V) Teorema 4: ~ Se , e são números reais, então: - Teorema 5: ~ Se é um número inteiro positivo, então: - I) - II) Teorema 6: ~ Se é uma função polinomial e é um número real, então: - ~ Corolário 1: Se é uma função racional e está no domínio de , então: - -…

Teorema Fundamental do Cálculo O Teorema fundamental do Cálculo é a base das duas operações centrais do cálculo, diferenciação e integração, que são considerados como inversos um do outro. Isto significa que se uma função contínua é primeiramente integrada e depois diferenciada, volta-se na função original. Este teorema é de importância central no cálculo tanto que recebe o nome teorema fundamental para todo o campo de estudo. Uma conseqüência importante disto, às vezes chamada de…

EXEMPLO Consideremos a função: EXEMPLO: Consideremos a função: CDI I Prof.ª Alessandra Cardozo – alessandracardozo@hotmail.com O teorema do confronto ou (Teorema do sanduíche) Se quando está próximo de (exceto possivelmente em ) e então EXEMPLO: Mostre que Solução: Temos que para todo . Logo, para todo , Como Segue pelo teorema do sanduíche que: INDETERMINAÇÕES Se desejarmos calcular ou sabemos que não se aplica o item 4 das propriedades dos limites,…

Primeiro observemos que no Exemplo 6 a ∈ R onde 0 < a < 1 e xn = 1−an+1 1−a . Em seguida, vamos concluir que realmente trata-se de uma sequência crescente. Para tanto, devemos concluir que xn+1 > xn para todo n ∈ N, isto n+1 1−an+2 é, > 1−a para todo n ∈ N. Para provar esta desigualdade usaremos 1−a 1−a 1 uma técnica conhecida como Redução ao Absurso . Suponha por absurdo que 1−an+2 1−an+1 < 1−a , ssim temos: 1−a 1 Prova por contradição (ou redução ao…

sempre tal que e . Teorema 6.1.1. Sejam , , e se , existe tal que para todo com . A substituição de por , não é válida neste teorema. O teorema 6.1.1 acarreta as seguintes informações: Se então existe tal que para todo com . Sejam e Se para todo então . Teorema 6.1.2. Teorema do Sanduiche: Sejam , e . Se para todo , então . Vale ressaltar que a noção de limite é local, pois dadas 2 funções e dado , se houver uma vizinhança de tal forma que para todo , então…

para todo n (an ≥ M para todo n). - Um tal número M é chamado de cota superior (cota inferior)para o conjunto de valores da sqüência. - Uma seqüência é limitada quando é simultâneamente limitada superior e inferiormente Proposição: Se lim an = 0 e {bn } é uma sucessão limitada então n→∞ lim (an · bn ) = 0 n→∞ Aula 1 25 de fevereiro de 2014 P. Nobrega UFF Seção 0.1 Sequências 3 Exemplo 4 a) lim (1 + (−1)n n→∞ b) lim n→∞ n2 1 ) n3 n2…

Simetria. Função Par e Função Ímpar. Capítulo II : Funções Lineares. Função Modular. Função Piso. Capítulo III : Funções Polinomiais e Racionais. Capítulo IV : Funções Algébricas e Trigonométricas. Capítulo V : Limite. Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche). Limites Laterais. Capítulo VI : Continuidade. Teorema do Valor Intermediário e Aplicação do TVI para Existência de Soluções de Equações. Capítulo VII : Limites no Infinito e…