serie & potencia

Seção 0.1

Sequências

EDA

0.1

1

Sequências & Séries

Sequências Numéricas

Definição:
Uma seqüência infinita de números reais é uma função cujo domínio é o conjunto N.
É comum representar uma seqüência a : N → R por seu conjunto imagem
{a(1), a(2), a(3), · · · }.
Uma notação universal é a de utilizar subscritos, a1 , a2 , a3 , · · · em vez de a(1), a(2), a(3), · · ·, sendo a seqüência como um todo representada por
(an )n∈

N

ou {an }n∈ N .

A notação acima é especialmente útil quando temos uma fórmula genérica para o elemento a(n) = an , chamado de termo geral da seqüência. Por exemplo, é muito comum utilizarmos expressões como
“considere a seqüência” an = 1/n.
A noção mais importante relativa a seqüências é a de convergência, que traduz a progressiva proximidade (ou não) dos elementos an de um número fixo l, à medida que n vai assumindo valores cada vez maiores. l é chamado de limite da seqüência, e escreve-se l = lim an n→∞ ou an → l

quando n → ∞.

Se uma seqüência an não converge para nenhum número real quando n →
∞, diz-se que an diverge.
Exemplo 1 Se sn =

1 então lim sn = 0. n→∞ n

Exemplo 2
∀ p > 0, 1/np → 0

Aula 1

quando n → ∞

25 de fevereiro de 2014

P. Nobrega

UFF

2

Sequências & Séries Numéricas

Proposição:
Se lim an e lim bn existem, então n→∞ n→∞

lim (an + bn ) = lim an + lim bn

n→∞

n→∞

n→∞

lim (an · bn ) = lim an · lim bn

n→∞

n→∞

n→∞

e, se lim an = 0, então an = 0 para n suficientemente grande e n→∞ lim (1/an ) = 1/ lim an .

n→∞

n→∞

Exemplo 3
2n4 − 7n + 3
2
→
3 (n + 1)
3n
3

quando n → ∞

Solução:
2n4 − 7n + 3 n→∞ 3n3 (n + 1) lim =

lim

2n4 1 −

n→∞

7 1
2 n3

3n4 1 +

+

3 1
2 n4

1 1
3 n3

=

7
1
3
2 1 − 2 (limn→∞ n3 ) + 2 (limn→∞
1
1
3
1 + 3 (limn→∞ n3 )

=

7
2 1− 2 ·0+ 3 ·0
2
3
1+ 1 ·0
3

=

2
.
3

1 n4 )

Definições:
- Uma seqüência {an } de números reais é