Series de potencia

SÉRIES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTES. CRITÉRIO DA RAZÃO PARA SÉRIES DE TERMOS QUAIQUER

4.1 SÉRIE ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE E SÉRIE CONDICIONALMENTE CONVERGENTE

Teorema: Se k=0+∞|ak | for convergente, então k=0+∞ak será, também convergente. demonstração: Para todo natural k
0≤ak+ak≤2ak (verifique)
Como k=0+∞|ak | é convergente, por hipótese, segue do critério de comparação que k=0+∞(|ak |+k) é também convergente. Como, para todo natural k ak=ak+ak-|ak| Resulta k=0∞ak=k=0+∞(|ak +k-k=0+∞|ak | Logo, k=0∞ak é convergente. (Observe que, para todo natural n ) k=0nak=k=0n(|ak +k-k=0n|ak | E portanto limn→+∞k=0nak=limn→+∞k=0n(|ak +k-limn→+∞k=0n|ak |
Observação: A recíproca não é valida.

4.2 CRITÉRIO DA RAZÃO PARA SÉRIES DE TERMOS QUAISQUER

Critério da razão. Seja a sériek=0+∞ak com ak ≠0 para todo natural k. Suponhamos que limk→+∞|ak+1ak| exista, finito ou infinito. Seja
L=limk→+∞|ak+1ak|
Nestas condições, tem-se:

a) Se L<1, a série k=0+∞ak será convergente. b) Se L>1>ou L=+∞, a série k=0+∞ak será divergente. c) Se L=1, o critério nada revela.
Demonstração:

a) Se L<1, a série k=0+∞|ak | será convergente; logo k=0+∞ak será também, convergente.

(Observe que k=0+∞|ak |é uma série de termos positivos, logo se aplica o teorema visto anteriormente). b) L>1>ou L=+∞, existirá um natural p tal que k≥p→|ak+1ak| (verifique)

Daí, para todo natural k>p.

|ak|>|ak|

Como ap≠0, limk→+∞|ak| não poderá ser zero e o mesmo acontecerá, então, com limk→+∞ak. Pelo critério do termo geral, a série k=0+∞ak será divergente.

4.3 REODERNAÇÃO DE UMA SÉRIE

Seja a série k=0+∞ak e seja α: N→N uma função bijetora, o que significa que α é injetora e Im α = N. A série k=0+∞bk, onde bk=a∝(k), denomina-se uma reordenação da série k=0+∞ak, só que em outra ordem.

Teorema: Seja k=0+∞bk uma reordenação da série k=0+∞ak. Se k=0+∞ak for absolutamente convergente, então k=0+∞bk será, também,