Calculo 1

TEOREMA DO SANDUICHE

sen( x)
.
x →∞ x sen( x)
. Reparemos que
Sol. Dado x > 0 vamos avaliar a expressão lim x →+∞ x 1 sen( x) 1
−1 ≤ sen( x) ≤ 1∴− ≤
≤ .
Por
fim, escrevemos: x x x
1
1 sen( x)
1
sen( x)
0 = −1 ⋅ lim = lim − ≤ lim
≤ lim = 0 . Assim, no caso de ∃ lim
.
x →+∞ x x →+∞ x →+∞ x →+∞ x x →+∞ x x x 1 sen( x) 1
Por outro lado, se ocorrer que x < 0 ∴−1 ≤ sen( x) ≤ 1 → − ≥
≥
e segue o x x x mesmo procedimento.

Exemplo: Decidir a existência do seguinte limite lim

1

2 − cos( x)
.
x →∞ x+3 Sol. Mais uma vez, sabemos que −1 ≤ cos( x ) ≤ 1∴ 0 < 1 ≤ 2 − cos( x) ≤ 3 . Mas, se
1
2 − cos( x)
3
tomarmos x de modo que x + 3 > 0 ∴
. Neste caso, calculamos
≤
≤ x+3 x+3 x+3 1
2 − cos( x)
3
≤ lim
≤ lim
= 0 . Segue. Pelo Teorema do ainda 0 = lim x →+∞ x + 3 x →+∞ x →+∞ x + 3 x+3 2 − cos( x)
Sanduíche que lim
= 0 . Por outro lado, com base no gráfico acima, se x →+∞ x+3 escolhemos x < 0 ∴ x + 3 < 0 suficientemente negativo, escrevemos na divisão acima:
1
2 − cos( x)
3
1
2 − cos( x )
3
≥
≥
e, por fim: 0 = lim
≥ lim
≥ lim
= 0. x →−∞ x + 3 x →−∞ x →−∞ x + 3 x+3 x+3 x+3 x+3
2 − cos( x)
Assim, depreendemos que o limite acima ∃ lim
.
x →∞ x+3 Exemplo: Decidir a existência do seguinte limite lim

cos 2 (2 x)
.
x →∞ 3 − 2 x
Sol. Mais uma vez, usamos que 0 ≤ cos 2 (2 x) ≤ 1 . Vamos analisar inicialmente o limite

Exemplo: Decidir a existência do seguinte limite lim

cos 2 (2 x)
. Assim, x →+∞ 3 − 2 x cos 2 (2 x)
1
0≤
≤
3 − 2x
3 − 2x lim quando

.

Por

x → +∞∴ 3 − 2 x < 0 .

fim,

Daí,

calculamos

se

os

tem

que:

limites:

2

cos 2 (2 x)
1
≤ lim
= 0 . Vale observar que existe uma assíntota vertical x →−∞ 3 − 2 x x →−∞ 3 − 2 x
3
dada por x = .
2
0 ≤ lim

2
Exemplo: Decidir a existência do seguinte limite lim x 3 ⋅ cos   . x →0
x
2
Sol. Vale notar que a função −1 ≤ cos   ≤ 1 é sempre limitada. Daí,