Retas. geometria analítica

Retas Geometria analítica: retas Introdução Entre os pontos de uma reta e os números reais existe uma correspondência biunívoca, isto é, a cada ponto de reta corresponde um único número real e vice-versa. Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerda para direita (eixo), e determinando um pontoO dessa reta ( origem) e um segmento u, unitário e não-nulo, temos que dois números inteiros e consecutivos determinam sempre nesse eixo um segmento de reta de comprimento u: [pic] Medida algébrica de um segmento Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os números reais xA e xB , temos: [pic] [pic] A medida algébrica de um segmento orientado é o número real que corresponde à diferença entre as abscissas da extremidade e da origem desse segmento. Plano cartesiano A geometria analítica teve como principal idealizador o filósofo francês René Descartes ( 1596-1650). Com o auxílio de um sistema de eixos associados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto do plano um par ordenado e vice-versa. Quando os eixos desse sistemas são perpendiculares na origem, essa correspondência determina um sistema cartesiano ortogonal ( ou plano cartesiano). Assim, há uma reciprocidade entre o estudo da geometria ( ponto, reta, circunferência) e da Álgebra ( relações, equações etc.), podendo-se representar graficamente relações algébricas e expressar algebricamente representações gráficas. Observe o plano cartesiano nos quadros quadrantes:

r2 = { P2 + t− v→ 2 | t ∈ R} duas retas no espaço. Se r1 = r2 , sabemos que r1 e r2 são concorrentes (isto é r1 ∩r2 = ∅) ou não se intersectam. Quando a segunda possibilidade ocorre, temos ainda duas situações a considerar: as retas podem ser paralelas ou reversas. Definição 1 A distância entre r1 e r2 é o número d(r1 , r2 ) dado por: d(r1 , r2 ) = min d(P, Q) | P ∈ r1 e Q ∈ r2 } Se as retas se intersectam, a definição diz que d(r1 , r2 ) = 0. Assim, os casos importantes a…

4 A Origem da Geometria Analítica A geometria analítica foi concebida por René Descartes. Aliando a álgebra à geometria, ela possibilita o estudo das figuras geométricas, associando-as a um sistema de coordenadas; desse modo as figuras podem ser representadas por meio de pares ordenados, equações ou inequações. Por exemplo, o par ordenado (5,4) representa o grupo P da figura 1, a equação y=x² representa a parábola da figura 2 e a inequação x ≥ 4 representa o semiplano da figura…

Resolução das atividades complementares Matemática M19 — Geometria Analítica: Pontos e Retas p. 08 1 (MACK-SP) Identifique a sentença falsa: a) O ponto (0, 2) pertence ao eixo y. b) O ponto (4, 0) pertence ao eixo x. c) O ponto (500, 500) pertence à bissetriz dos qua­drantes ímpares. d) O ponto (80, 280) pertence à bissetriz dos qua­drantes pares. e) O ponto 3 1 1, 3 1 1 pertence à bissetriz dos qua­dran­tes pares. ) ( Resolução: O ponto 3 1 1, 3 1 1 tem…

Exercícios de Matemática Geometria Analítica - Retas TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO (Cesgranrio) As escalas termométricas Celsius e Fahrenheit são obtidas atribuindo-se ao ponto de fusão do gelo, sob pressão de uma atmosfera, os valores 0 (Celsius) e 32 (Fahrenheit) e à temperatura de ebulição da água, sob pressão de uma atmosfera, os valores 100 (Celsius) e 212 (Fahrenheit). 1. O gráfico que representa a temperatura Fahrenheit em função da temperatura Celsius é uma reta de coeficiente…

Retas EQUAÇÕES DA RETA 1. Equação paramétrica da reta Sejam (0,i,j,k) um sistema de coordenadas P(x, y, z) e A(x1, y1, z1) um ponto genérico e um ponto dado, respectivamente, da reta r, e v=ai+bj+ck um vetor de mesma direção de r. Desenvolvendo a equação vetorial da reta r: P=A+ t v, x, y, z=(x1, y1, z1)+t(a, b, c) (x,y,z)=(x1+at,y1+bt,z1+ct) x=x1+aty=y1+btz=z1+ct As equações acima, nas quais a, b, e c não são todos nulos (v≠0), são denominadas equações paramétricas da…

Exercícios de Geometria Analítica Ponto e Reta 1) (FGV-2004) No plano cartesiano, o ponto P que pertence à reta de equação y = x e é eqüidistante dos pontos A(-1,3) e B(5,7) tem abscissa igual a: a) 3,1 b) 3,3 c) 3,4 d) 3,5 e) 3,2 10 b) 3 2 2 c) d) 10 2 e) 10 6) (Vunesp-2003) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértices P = (0,0), Q = (6,0) e R = (3,5), é 2) (UFSCar-2004) Os pontos A(3, 6), B(1, 3) e C(xC, yC) são vértices do triângulo ABC, sendo M(xM, yM) e N (4, 5) pontos…

Geometria Analítica 27 CAPÍTULO 4 A Reta no Plano 4 – Estudo da reta no ℝ 2 4.1 - Condição de Alinhamento de 3 pontos no ℝ 2 Consideremos 3 pontos alinhados A = (xA, yA), B = (xB, yB) e C = (xC, yC) do ℝ 2 . ˆ Da semelhança dos triângulos retângulos ADB e BEC, temos: BÂD = CBE . Como tg (BÂD) = tem-se : Daí : yB − y A yB − y A xB − x A y c − yB ˆ = tg (CBE) = y c − yB x c − xB xB − x A x c − xB (yB − yA) ⋅ (xC − xB) = (xB − xA) ⋅ (yC − yB) =…

a expressão geometria analítica possui dois significados distintos. O significado moderno e avançado se refere à geometria das variedades analíticas. A geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e de geometria cartesiana, é o estudo da geometria por meio de umsistema de coordenadas e dos princípios da álgebra e da análise. Ela contrasta com a abordagem sintética da geometria euclidiana, em que certas noções geométricas são consideradas primitivas, e é utilizado o…

A Reta (Parte 2) Março/2015 Geometria Analítica – 2015/1 Introdução Relembrando 1) Para definir as equações da reta precisamos de: A( x1 , y1 , z1 ) - Um ponto conhecido;  - Um Vetor diretor. v  (a, b, c) _______________ Agora, vamos analisar casos especiais: Geometria Analítica – 2015/1 2 Resgate (1) Planos Coordenados: 1) Plano yOz ou yz: x = 0 (eixo das abcissas). z  k  i  j y x Figura 1 – Plano yOz. Geometria Analítica – 2015/1 3 Retas Paralelas aos Planos…