geometria analitica ponto e reta

4

A Origem da Geometria Analítica
A geometria analítica foi concebida por René Descartes. Aliando a álgebra à geometria, ela possibilita o estudo das figuras geométricas, associando-as a um sistema de coordenadas; desse modo as figuras podem ser representadas por meio de pares ordenados, equações ou inequações.
Por exemplo, o par ordenado (5,4) representa o grupo P da figura 1, a equação y=x² representa a parábola da figura 2 e a inequação x ≥ 4 representa o semiplano da figura 3.

Figura 1: Ponto P

Figura 2: Parábola

Figura 3: Semiplano

Distância Entre Dois Pontos
Consideremos no eixo Ox dois pontos A e B com abscissas 3 e 7, respectivamente: Figura 4: Eixo Ox

Quatro unidades u separam os pontos A e B. Por isso dizemos que a distância entre A e B é 4 ou que o comprimento do segmento AB é 4. Essa distância pode ser calculada como o módulo da diferença de A e B, isto é, |7 - 3| ou |3 – 7|. De maneira análoga, para pontos que pertencem ao eixo Oy:

5

Figura 5: Eixo Oy

A distância entre C e D é |3 - (-2)| = 5 ou |-2 -3| = 5
O raciocínio anterior pode ser usado para qualquer segmento EF paralelo a um dos eixos coordenados, pois EF é congruente à sua posição ortogonal E'F' sobre o eixo paralelo: logo, EF = E'F'.
Consideremos, finalmente, o calculo da distância entre os dois pontos P e Q tal que o segmento porque não é paralelo a nenhum dos eixos coordenados; por exemplo, P(2,1) e Q(6,4). Representando o segmento porque no plano cartesiano e traçado por P e Q as retas paralelas aos eixos coordenados, obtemos o triangulo retângulo PQT.

Figura 6: Triângulo retângulo PQT

O segmento PT é paralelo ao eixo Ox, logo, a medida PT é igual à medida P'T', isto é, PT = 62 = 4; de maneira análoga, QT = 4-1 = 3. Pelo teorema de Pitágoras , temos:
(PQ)² = (PT)² + (QT)², ou seja:
(PQ)² = 4² + 3², ou ainda:
(PQ) = ± √25 = ± 5
Como o comprimento de um segmento de reta não pode ser negativo, concluímos que porque = 5.

6

O