Retas E Planos

2, -1) a) Determine a equação vetorial da reta que passa por A e tem a direção de u b) Determine um ponto da reta. c) Verifique se a reta passa por B = (1, 5, 2) 02. Considere: i) o ponto A = (2, 3, 1) e o vetor u = (1, 1, -2) ii) o ponto A = (1, 1, 2). e o vetor u = (2, 2, 1) a) Determine as equações paramétricas da reta que passa por A e tem a direção de u b) Determine um ponto da reta. c) Verifique se a reta passa por B = (3, 3, 3) 03. Considere: i) o

1- Determinação de Planos É possível determinar um plano de quatro maneiras. Vejamos: 1.1- Postulados Ao possuir três pontos não colineares poderemos determinar um plano único que os contém. 1.2 - Teorema Uma reta e um ponto, não pertencem a ela, determinam um único plano que os contém. 1.3 - Teorema Determinamos um único plano por duas retas concorrentes. 1.4 - Teorema Determinamos um único plano através de duas retas paralelas distintas

1 RETAS 5 1.1 EQUAÇÃO PARAMÉTRICA DA RETA 5 1.2 Equação de uma reta definida por dois pontos 5 1.3 Equação de segmento de reta 6 1.4 Equação simétrica da reta 6 1.5 Equação reduzida de uma reta 7 1.6 Ângulo formado por duas retas 9 1.7 Retas ortogonais 9 1.8 Posição relativa entre duas retas 10 1.9 Interseção entre duas retas 12 2 PLANOS 13 2.1 Ângulo formado por dois planos 13 2.2 Condição de paralelismo entre planos 14 2.3 CONDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO ENTRE PLANOS 16

Posições relativas entre uma reta e um plano As posições relativas entre retas e planos podem ser as seguintes: 1° Caso: A reta é coplanar, ou seja, todos os pontos da reta também pertencem ao plano. A intersecção entre a reta e o plano é a própria reta. 2° Caso: A reta é paralela distinta ao plano, ou seja, nenhum ponto da reta pertence ao plano. A intersecção entre a reta e o plano é o conjunto vazio. 3° Caso: A reta é concorrente ao plano, mas não perpendicular ao mesmo. Neste…

CAPÍTULO I – EQUAÇÕES DA RETA 1.1 Equação vetorial Um dos axiomas da geometria euclidiana diz que dois pontos distintos determinam uma reta. Seja r a reta determinada pelos pontos P1 e P2. Um ponto P pertence à reta r se, e somente se, os vetores ® P1P e ® P1P2 são colineares. Como P1 e P2 são distintos, o vetor ® P1P2 é não nulo, então existe um escalar l tal que ® ® P1P = l P1P2 . Assim, P pertence a r se, e somente se, P = P1 + lP1P2 ; lÎIR ® .…

Lista de Exercícios – Retas e planos 1) Escreva uma equação da reta r nos casos a seguir: a) b) 2) a) r passa pelo ponto P = (­2,­1,3) e tem a direção do vetor r passa pelos pontos A = (1,3,­1) e B = (0,2,3). = (2,1,1). Verifique, em cada um dos casos abaixo, se o ponto P pertence à reta r: P = (­2,1,1) e r: X = (1,0,0) + h(­1,2,1); h Є R b) P = (2,­1,­7) e r : ; t Є R c) P = (2, ,3) e r : x­1 = 2(y­2) = 3) Determine as equações reduzidas da reta r que: …

Exercícios – Retas e planos 1) Escreva uma equação da reta r nos casos a seguir: a) r passa pelo ponto P = (-2,-1,3) e tem a direção do vetor u = (2,1,1). b) r passa pelos pontos A = (1,3,-1) e B = (0,2,3). 2) Verifique, em cada um dos casos abaixo, se o ponto P pertence à reta r: a) P = (-2,1,1) e r: X = (1,0,0) + h(-1,2,1); h Є R x  1  t  b) P = (2,-1,-7) e r :  y  2  3t ;tЄR  z  5  2t  c) P = (2, 1 z ,3) e r : x-1 = 2(y-2) = 3 2 3) Determine as equações reduzidas da reta…

MATERIAIS DOS PRODUTOS E COMPATIBILIDADE elastómeros, materiais plásticos e metais ● ELASTÓMEROS: CR (cloropreno) É principalmente utilizado como junta externa nos sistemas de refrigeração (fréon 22). O neopreno é igualmente utilizado na presença de oxigénio. Resiste ao álcool, ácidos suaves, água, ar, amoníaco, árgon e outros gases. As temperaturas de utilização vão de -20°C a +90°C. CSM (polietileno cloro sulfonado) Utilizado para veicular os fluidos fortemente oxidantes,…

RELATIVAS DE RETAS A PLANOS NO ESPAÇO Paralelismo de retas no espaço No espaço, duas retas são paralelas que existe um plano que as contém, e se essas retas não se tocam. Assim sendo elas estão na mesma direção mesmo que estejam em sentidos opostos. Ex: Os fios de um torre de transmissão de energia, eles estão na mesma direção e sentido mas jamais se tocam (nem se aproximam nem se afastam). Um exemplo intuitivo desta primeira situação é considerar a superfície de um lago como um…

Analítica ESTUDANDO A RETA: EQUAÇÕES, INTERSEÇÕES, DISTÂNCIAS E ETC. DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE UMA RETA COEFICIENTE ANGULAR DA RETA E SUAS EQUAÇÕES O COMPORTAMENTO E POSIÇÃO DA RETA EM RELAÇÃO A OUTROS ELEMENTOS DO PLANO APRESENTAÇÃO O lá aluno (a), seja bem-vindo (a) a esta nova etapa de construção do conhecimento! Aqui, você aprenderá conceitos da reta no plano, aprenderá também o que é coeficiente angular e como determinar a equação de uma reta. Você verá que a…