Retas e planos em uma pespectiva vetorial

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Sumário
Introdução 4
1 RETAS 5
1.1 EQUAÇÃO PARAMÉTRICA DA RETA 5
1.2 Equação de uma reta definida por dois pontos 5
1.3 Equação de segmento de reta 6
1.4 Equação simétrica da reta 6
1.5 Equação reduzida de umareta 7
1.6 Ângulo formado por duas retas 9
1.7 Retas ortogonais 9
1.8 Posição relativa entre duas retas 10
1.9 Interseção entre duas retas 12
2 PLANOS 13
2.1 Ângulo formado por dois planos 13
2.2 Condição de paralelismo entre planos 14
2.3 CONDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO ENTRE PLANOS 16
2.4 ÂNGULO FORMADO POR UMA RETA E UM PLANO 17
2.5 RETA CONTIDA EM PLANO 18
2.6 INTERSEÇÃO DEPLANOS 19
2.7 INTERSEÇÃO ENTRE RETAS E PLANOS 20
2.8 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO 21
CONCLUSÃO 23
REFERÊNCIAS 24

INTRODUÇÃO
A Geometria Analítica éuma peça da Matemática, que por meio de métodos particulares, constitui as relações existentes entre a Álgebra e a Geometria. Desse modo, retas, planos, circunferências e até mesmo figuras podem ter suas características analisadas por meio de métodos algébricos.
Através de uma pesquisa realizada em relação às retas e planos, com demonstrações de teorias e exemplos, o presente trabalho tem porobjetivo, transmitir conhecimento a todos que por ventura tenham interesse em aprender um pouco mais.

RETAS E PLANOS EM UMA PESPECTIVA VETORIAL
RETAS
EQUAÇÃO PARAMÉTRICA DA RETA

As equações paramétricas são equações que representam a mesma reta utilizando uma incógnita t. Essa incógnita recebe o nome de parâmetro e faz a ligação entre as equações que representam a mesma reta.
Para se obteruma reta na forma paramétrica partimos de sua equação vetorial P = Po + tonde Po = (x1, y1, z1) é um ponto fixo do plano e v = (a, b, c) o “vetor direção” da reta. Dessa equação obtemos as equações paramétricas da reta:

Exemplo: Dado o ponto F = (1, 2, 3) e o vetor = (4, 5, 6), escreva as equações paramétricas, que passam por F e tem direção de :
Solução:
x = 1 + 4t
y = 2 + 5t
z= 3 + 6t

Equação de uma reta definida por dois pontos

A reta definida pelos pontos A e B, é uma reta que passa por A (ou B) e tem direção do vetor = .
Exemplo: Escreva as equações da reta M que passa pelos pontos A (7, 8, 9) e B (4, 5, 6).

Solução:
Escolhendo o ponto A e o vetor , inicialmente calcula-se o vetor: = B-A = (4, 5, 6) – (7, 8, 9) = (-3, -3, -3), e seguida substitui nafórmula:
x = 7 – 3t
M: y = 8 – 3t
z = 9 – 3t

Equação de segmento de reta

A equação paramétrica de segmento da reta é extremamente semelhante à equação definida por dois pontos, a diferença é que nela o t deverá ser 0 t 1, ou seja, o t[0, 1].
Exemplo: Escreva asequações do segmento BA da reta G, onde A (12, 5, 9) e B (7, 2, 15).
G

Solução:
Escolhendo o ponto B e o vetor , inicialmente calcula-se o vetor: = A-B = (12, 5, 9) – (7, 2, 15) = (5, 3, -6), e seguida substitui na fórmula:
x = 7 + 5t
BA: y = 2 + 3tz = 15 – 6t, t [0,1]
Observação:
* Quando o t = 0, encontraremos o valor de B;
* Quando o t = 1, encontraremos o valor de A;
* E para t entre 0 e 1, encontraremos os pontos entre B e A.

Equação simétrica da reta

Das equações paramétricas têm-se:

Supondo que a0, b0 e c0, teremos que:

Como, para...
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