Geometria 2 - retas e planos

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1- Determinação de Planos
É possível determinar um plano de quatro maneiras. Vejamos: 

1.1- Postulados 

Ao possuir três pontos não colineares poderemos determinar um plano único que os contém. 

1.2 - Teorema 

Uma reta e um ponto, não pertencem a ela, determinam um único plano que os contém. 

1.3 - Teorema 

Determinamos um único plano por duas retasconcorrentes. 

1.4 - Teorema 

Determinamos um único plano através de duas retas paralelas distintas. 


Demonstração de um dos teoremas da determinação

Teorema 
Uma reta e um ponto, que não pertencem a ela, determinam um único plano que os contém. Vejamos: 

Demonstração:

Existência do plano 
Considerando r como reta e P como ponto, com P ∉ r. 
Notando quenuma reta existem inúmeros pontos, consideramos dois pontos diferentes A e B, relativos a r. 
Determinamos o plano α através dos pontos A, B e P por não serem colineares. O plano α possui além do ponto P o ponto r por conter dois de seus pontos diferentes A e B (postulado da inclusão).

Unicidade do plano 
Se houvesse dois diferentes planos α e β possuindo r e P então também existiriam doisplanos diferentes contendo os três pontos não colineares.

 
1. Paralelismo
2.1 - Transitividade no paralelismo

Se dissermos que duas retas são paralelas a uma terceira, elas assim serão consideradas paralelas entre si. 

Vejamos a figura: 

2.2 - Teorema fundamental do paralelismo

O principal requisito para que uma reta seja paralela a um plano é que de modo algum ela estejainclusa nele e seja paralela a uma reta desse plano. Vejamos: 

2.3 - Consequências

Consideremos duas paralelas distintas, todo e qualquer plano que possui uma é paralelo ou possui a outra. Vejamos a figura: 

Ao notarmos que uma reta é paralela a um plano, podemos afirmar que toda e qualquer reta paralela a ela que tenha um ponto uniforme com o plano estará contida nele. 
Vejamos:
 

Seconsiderarmos que uma reta é paralela a dois planos secantes, então podemos dizer que ela é também paralela a intersecção dos dois planos. Vejamos a figura:

Note que o recíproco não é real, pois ela pode estar contida nos planos. 

2.4 - Teorema fundamental do paralelismo do plano
O principal requisito para que dois planos diferentes sejam paralelos é um deles possuir duas retas concorrentesentre si e paralelas ao outro. Vejamos:

2.5 - Propriedade de paralelismo de planos

Ao possuir dois planos paralelos cortados por um terceiro, teremos intersecções paralelas. 

Se considerarmos um ponto que não pertence a um plano, notaremos que haverá e será exclusivo o plano paralelo a ele (extensão do postulado de Euclides da Geometria Plana).

Teorema de Tales 

Um feixe de planosparalelos determina a cerca de duas transversais secções congruentes devidamente proporcionais. 

 

3- Posição relativas entre duas retas
3.1 - Paralelas coincidentes

Podemos denominar paralelas coincidentes duas retas que possuem todos os pontos em comum. 

3.2 - Paralelas distintas 

Denominamos paralelas distintas duas retas quando são coplanares e possuem pontos uniformes. Atenção: Consideramos coplanares duas retas, quando existe um plano que as contém.

3.3 - Concorrentes 

Denominamos concorrentes duas retas quando contém um único ponto em comum. 

É importante ressaltar que duas retas concorrentes que determinam um ângulo reto são denominadas perpendiculares.

3.4 – Reversas

Podemos denominar duas retas de reversas, sempre que não forem coplanares, istoé quando não houver um plano que as contém. 

Para determinar a extensão do ângulo entre duas retas reversas, consideramos uma paralela a uma delas que corte a outra e logo após medimos o ângulo. Denominamos retas ortogonais quando duas retas reversas determinam ângulo reto.

3.5 - Retas perpendiculares
Duas retas r e s são perpendiculares se, e somente se, são concorrentes e formam ângulos...
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