CALCULO II

1) Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. Esboçar o gráfico em cada caso. a) f(x) = x² - 1 ; para x = 1 ; x = 0 ; x = a p/ a pertencente aos reais f’(x) = 2x para x = 1 f(1)= 1²-1=0 e f’(1)= 2.1=2 (y-y0)=m(x-x0) => (y-0)=2(x-1) => Y=2x-2 (reta tangente para x = 1) Para x = 0 f(0)=0²-1= -1 e f’(x)= 2.0=0 (y-y0)=m(x-x0) => (y+1)=0(x-0) => Y=-1 (reta tangente para x = 0) Para x = a f(a)= a²-1 = ±1 e f’(x)= 2.a=2a (y-y0)=m(x-x0) => ((y-)a²-1)=2ª(x-a) => Y= -a²-2ax-1 (reta tangente para x=a) Para a = -1 Y= -2x-2 Para a = 1 Y= 2x-2 b) f(x)= x²-3x+6 ; para x = -1; x = 2 f’(x) = 2x-3 para x = -1 f(-1) = (-1)²-3(-1)+6= 10 e f’(-1) =2(-1)-3= -5 (y-y0)=m(x-x0) => (y-10)= -5(x+1) => Y= -5x+5 (reta tangente para x=-1) para x=2 f(2) = 2²-3(2)+6=4 e f’(2)= 2(2)-3= 1 (y-y0)=n(x-x0) => (y-4)=1(x-2) => Y= x+2 (reta tangente para x=2 c) f(x)= x(3x-5) ; para x=1/2 ; x= a; para a pertencente aos reais f(x) = 3x²-5x e f’(x)= 6x -5 para x=1/2 f(1/2)= 3(1/2)²-5(1/2) = -1,75 e f’(x)= 6(1/2)-5 = -2 (y-y0)=m(x-x0) => (y+1,75)=-2(x-1/2) => Y= -2x -0,75 para x=a f(a)= 3a²-5a e f’(x)= 6a-5 (y-y0)=m(x-x0) => (y-(3a²-5a))=(6a-5)(x-a) => Y= -3a²+6ax-5x (tangente para x=a) 3a²-5a= a(3a-5)=0 => a=0 e 3a-5=0 => a=5/3 para a=0 Y= -3(0)²+6(0)x-5x => Y=-5x…

movimentos. Para definir uma função f em um intervalo aberto contendo x0, então a derivada de f em x0, adota-se por f ’ (x0), é dada por : f'(x0)= limh→0fx0+h-f(x0)h Conceito na Fisica O conceito de derivada na Fisica na função f no ponto x0 fornece taxa de variação instantânea de f em x0, suponha que y seja uma função de x,sendo, y = f(x).Se x variar de um valou x0 até um valor de x1,representamos esta variação de x, por ∆x= x1-x0 e a variação de y é dada por ∆y= f(x1) – f(x0), é o…

DERIVADAS A reta tangente Observemos algumas curvas no plano: Situação 1: A reta tangente "toca" a curva em um único ponto. Situação 2: A reta tangente "toca" a curva em um único ponto. Situação 3: A reta tangente encontra a curva em dois pontos:no ponto em que é tangente, a reta apenas "toca" a curva; no outro ponto, a reta atravessa a curva. Situação 4: A reta tangente intercepta a curva em um único ponto, sendo que a reta "atravessa" a curva.…

DERIVADAS Reta- equação 1) Na forma inclinação-intersecção com o eixo y Equação da reta que tem inclinação m e corta o eixo y no ponto de ordenada n y = mx + n m=  m : inclinação da reta (coeficiente angular )  n : int er sec ção com o eixo y ( coeficiente linear ) y x Escreva a equação da reta cujo gráfico é dado abaixo: (fig 1) 2) Na forma ponto- inclinação Equação da reta que tem inclinação m e que passa pelo ponto P(x 0 , y 0 ) y - y 0 = m (x- x 0 ) …

Sejam x e y duas grandezas que variam de tal forma que y é uma função de x. A partir de um valor x0, fixado, fazendo x variar de ∆ x, y variará também de ∆ y x0 → f(x0 ) ∆x = h ∆y ∆x = taxa de variação da grandeza y em relação à grandeza x x0 + h → f(x0 +h) ∆ y = f((x0 +h) - f(x0 ) Se lim ∆y ∆x existe e é finito, esse limite dá a taxa instantânea de variação da grandeza y em relação à grandeza x. ∆x→ 0 Fixemos um valor de x = x0 lim ∆y ∆x = lim …

variação Sejam x e y duas grandezas que variam de tal forma que y é uma função de x. A partir de um valor x0, fixado, fazendo x variar de ∆ x, y variará também de ∆ y → f(x0 ) x0 ∆x = h x0 + h → f(x0 +h) ∆ y = f((x0 +h) - f(x0 ) ∆y ∆x Se lim ∆y ∆x = taxa de variação da grandeza y em relação à grandeza x existe e é finito, esse limite dá a taxa instantânea de variação da grandeza y ∆x→ 0 em relação à grandeza x. Fixemos um valor de x = x0 lim …

Reta- equação Y = mx + n Escreva a equação da reta cujo gráfico é dado abaixo: = ângulo de inclinação da reta m = tg = Pontos: (-1,1) e ( 1,5) m = Assim , y = 2x + n. Tomando um dos pontos da reta, por exemplo, o ponto (-1,1), temos: 1= 2.(-1) + n 1= -2 +n n = 3 Logo a equação da reta é : y = 2x + 3 Reta tangente a uma curva num determinado ponto indicado. Seja f(x) = xcujo gráfico é dado abaixo. Determine o coeficiente angular da parábola y =…

um ponto: Definição: Se uma função f é definida em um intervalo aberto contendo x0, então a derivada de f em x0, denotada por f ’(x0), é dada por: ' ( ) 0 f x = 0 limx x f x x f x  ( ) −( ) 0 0 , se este limite existir. Dx representa uma pequena variação em x, próximo de x0, ou seja, tomando ( ) 0 0 x x x x x −x , a derivada de f em x0 pode também se expressa por ' ( ) 0 f x = 0 limx x 0 0 ( ) ( ) x x f x f x − − . Notações: f ' ( x0,) , x x0 dx …

e regras de derivação) PARTE I 1. Para cada uma das funções a seguir calcule f ´(a), usando a definição, caso exista. a) f(x) = senx ; a = 0 b) y = x2 – 3x ; a = 2 c) f(x) = ; a = 0 d) y = ; a = 2 2. Determine a derivada de cada uma das funções a seguir, usando definição: a) f(x) = 2x2 – 3x +1 b) f(x) = c) y = 2 d) y = 3. Considere a função f(x) = x2 – 2x. a) Mostre,…

e regras de derivação) PARTE I 1. Para cada uma das funções a seguir calcule f ´(a), usando a definição, caso exista. a) f(x) = senx ; a = 0 b) y = x2 – 3x ; a = 2 c) f(x) = ; a = 0 d) y = ; a = 2 2. Determine a derivada de cada uma das funções a seguir, usando definição: a) f(x) = 2x2 – 3x +1 b) f(x) = c) y = 2 d) y = 3. Considere a função f(x) = x2 – 2x. a) Mostre,…