Apostila de Cálculo II

Aula 2:

APLICAÇÕES DAS DERIVADAS

Reta- equação
1) Na forma inclinação-intersecção com o eixo y
Equação da reta que tem inclinação m e corta o eixo y no ponto de ordenada n y = mx + n

m=

 m : inclinação da reta (coeficiente angular )

n : int er sec ção com o eixo y ( coeficiente linear )

y
x

Escreva a equação da reta cujo gráfico é dado abaixo:

(fig 1)

2) Na forma ponto- inclinação
Equação da reta que tem inclinação m e que passa pelo ponto P(x 0 , y 0 ) y - y 0 = m (x- x 0 )
Exemplo: Determine a equação da reta que tem inclinação m =

1 e que passa pelo ponto (2,-3)
2

Derivada como coeficiente angular da reta tangente
Reta tangente a uma curva num determinado ponto indicado.
2

Seja f(x) = x cujo gráfico é dado abaixo. Determine o coeficiente angular da parábola y = x
P(2,4). Escreva a equação da reta tangente à parábola nesse ponto.

2

no ponto

1

O coeficiente angular da reta secante PQ =

( 2  h) 2  4
 h4
2h2

Fazendo o ponto Q se aproximar cada vez mais do ponto P, temos a reta tangente à parábola no ponto
(2,4)
O coeficiente angular da reta tangente = lim

h 0

( 2  h) 2  4
 lim h 0
2h2

(h  4) = 4

O coeficiente angular da curva no ponto P é igual ao coeficiente angular da reta tangente à curva nesse ponto P.
Equação da reta tangente: y = 4x -4
Seja uma função f(x) e x = x 0

f ( x 0  h)  f ( x 0 )
= f’(x 0 ). h lim h 0

O coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto x = x 0 é a derivada da função nesse ponto.
Exemplos
1) Determine a equação de uma reta tangente à curva da função dada no ponto correspondente ao valor de x especificado: f(x) = 3x

2

 x3

x = -1
3

2

2) Quais são os valores de x para os quais o gráfico de f(x) =2x +3x -12x +1 tem tangentes horizontais? Derivada como taxa de variação
Suponhamos que uma partícula desloca-se sobre o eixo x com função posição x = f (t).
Isto significa dizer que a função f