Derivads
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DERIVADASDerivada como taxa de variação
Sejam x e y duas grandezas que variam de tal forma que y é uma função de x.
A partir de um valor x0, fixado, fazendo x variar de ∆ x, y variará também de ∆ y
→ f(x0 )
x0
∆x = h
x0 + h → f(x0 +h)
∆ y = f((x0 +h) - f(x0 )
∆y
∆x
Se lim
∆y
∆x
= taxa de variação da grandeza y em relação à grandeza x
existe e é finito, esse limite dá a taxa instantânea de variação da grandeza y
∆x→ 0
em relação à grandeza x.
Fixemos um valor de x = x0 lim ∆y
∆x
=
lim
f ( x0 + h) − f ( x0 )
.
h
h→ 0
∆x→ 0
Esse limite é chamada de derivada de f(x) no ponto de abscissa x = x0 e indicamos por: f’(x0) =
lim
f ( x0 + h) − f ( x0 ) h h→ 0
Exemplo: Encontre a derivada de f(x) = x2 no ponto de abscissa x = 4 f’(4) = lim
f ( 4 + h ) − f ( 4)
( 4 + h ) 2 − ( 4) 2
16 + 8h + h 2 − 16 h(8 + h)
= lim
= lim
= lim
=8
h h h h h→0
h→0
Exercícios:
Calcule a derivada de f(x) no ponto indicado:
1) f(x) = x2 ; x = -2
2) f(x) = 3x + 4 ; x = 4
3) f(x) = 2x – x2 ; x = -2
h→0
h→0
4) f(x) = x3 ; x = -1
Derivada como o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto de abscissa x = x0
Significado geométrico da derivada
A partir do gráfico de uma função podemos obter uma importante interpretação da noção de derivada. f(x)
Inclinação = taxa média de variação B
∆y
= tangente do ângulo que
∆x
f
f(x0 + h) – f(x0)
a reta forma com o eixo x
A h )
x
X0 + h
x0
f(x)
B
B
A
B
Inclinação = taxa instantânea de variação x a A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao valor da tangente do ângulo formado pela tangente à curva representativa de y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0.
m = coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto x = x0 f ( x0 + h) − f ( x0 )
∆y
lim
= mt