Resumo C Lculo 2

P1= (x1, y1, z1) e P2= ( x2, y2, z2), o vetor V determinado por P1P2 é: V= P2-P1= (x2-x1, y2-y1, z2-z1) Exercício: Determine o vetor V=P1P2, se P1= (-3,2,-1) P2= (15,2,6) =(18,0,7) Produto escalar O produto escalar é um número. Dados U= (u1,u2,u3) e V =(v1,v2,v3) vetores em R³. O produto escalar de U e V, denotado por U.V ou <U,V> é definido por U.V= u1.v1+u2.v2+u3.v3 O vetor V e ortogonal a W se e somente se V.W=0 ( são perpendiculares ângulo de 90º) O vetor 0 é o único vetor ortogonal a todos os vetores Exercício: Determine o valor K de modo que os vetores x= (3, -2k, 4) e y= (1,2,5) sejam ortogonais. K= 23/4 Norma euclidiana de um vetor A norma é o “tamanho do vetor”, seja V= (v1,v2,v3) a norma euclidiana de V é denotada por llVll e definida por: llVll= ¬V.V = ¬ v1²+v2²+v3² Um vetor é unitário quando tem tamanho 1 Exercício: Determine a distância de P1 a P2 se: P1= (1,2,1) P2=(-5,3,1) = ¬37 Se um vetor W não é unitário, então o vetor definido por: V= W/ llWll é unitário e tem a mesma direção de W Exercício: Determine um vetor unitário que tem a mesma direção e o mesmo sentido do vetor X= (2,3,4) = (2,3,4)/¬29 Lei dos cossenos cosƟ = < i , j > ll i ll . ll j ll Produto Vetorial O produto vetorial entre dois vetores gera outro vetor A= (A1,A2,A3) B= (B1,B2,B3) O produto vetorial de u com v denotador por A^B ou A x B é definido por: Exercício: Determine u^v se U= (-1,2,-1) e v=(-5,3,1) = (5,6,7) Área A área do paralelogramo…

GUIDG.COM – PG. 1 14/4/2010 – ALGA-1: Exercícios Resolvidos – Superfícies Quádricas * Do Livro de Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle. 1 – Revisão de conteúdo. 2 – Veja alguns exemplos gráficos de superfícies geradas a partir do computador. Partindo de exercícios mais simples, e seguindo até as formas mais complicadas. Uma brevíssima revisão das equações e dos gráficos de superfícies: Elipsóide: Centro C(0, 0, 0): 2 2 2 xff yff zff ff ff ff ff ff f f f + 2…

14/4/2010 – ALGA-1: Exercícios Resolvidos – Superfícies Quádricas * Do Livro de Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle. 1 – Revisão de conteúdo. 2 – Veja alguns exemplos gráficos de superfícies geradas a partir do computador. Partindo de exercícios mais simples, e seguindo até as formas mais complicadas. Uma brevíssima revisão das equações e dos gráficos de superfícies: Elipsóide: Centro C(0, 0, 0): 2 2 2 xff yff zff ff ff ff ff ff f f f + 2 + 2f=…

hipérbole [pic] é muito mais aberta. (A dedução da equação reduzida é semelhante à do item A). Equação Canônica das Cônicas com Centro Genérico (h, k) As equações canônicas das cônicas descritas anteriormente têm todos os focos no eixo Ox e centro em (0 0); analisamos ainda o caso em que o centro é um ponto (h, k) qualquer do plano e os focos estão na reta paralela ao eixo Ox, y = k ou paralela ao eixo Oy, x = h. As equações com um centro genérico em (h, k) e…

1 14/4/2010 – ALGA-1: Exercícios Resolvidos – Superfícies Quádricas * Do Livro de Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle. 1 – Revisão de conteúdo. 2 – Veja alguns exemplos gráficos de superfícies geradas a partir do computador. Partindo de exercícios mais simples, e seguindo até as formas mais complicadas. Uma brevíssima revisão das equações e dos gráficos de superfícies: Elipsóide: Centro C(0, 0, 0): 2 2 2 xf f f f f f f yf f f f f f f zf f f f f f + + =1 2 2 2 a c…

Variáveis - Lista de Exercícios 2 Professor: Luiz Carlos Fernandes Cônicas e Quádricas Questão 1: Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada e use o método de completar quadrados para fazer o seu esboço, indicando seu centro e vértices em cada caso. (a) x2 = y + 1 (b) x2 = y 2 + 1 Questão 2: (c) x2 = 4y − 2y 2 (d) y 2 − 8y = 6x − 16 (e) y 2 + 2y = 4x2 + 3 (f) 4x2 + 4x + y 2 = 0 Use cortes para esboçar e identificar as superfícies. (Faça os cortes passando pelos planos…

não passam pelos cortes com os eixos x e y. Nesses pontos, os traços são pares de retas concorrentes. HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS Uma quádrica S é um hiperbolóide de duas folhas se existirem números reais positivos a,b,c ao qual S pode ser descrita pela equação: Não há traço no plano xy. Em planos paralelos ao plano xy que interceptam a superfície em mais do que um ponto os traços são elipses. Os traços nos planos yz e xz bem como os planos paralelos a eles, são hipérboles. …

Espaço Tridimensional – 3 Equação geral (ou cartesiana do plano ) ax + by + cz + d = 0, a2 + b2 + c2 0 Planos paralelos aos eixos coordenados Planos paralelos aos planos coordenados FAZER O EXERCÍCIO 1 SUPERFÍCIES ESFÉRICAS Definição: Chama-se superfície esférica S de centro C e raio R ao conjunto de pontos P do espaço tais que a distância de P até C é igual a R. Se as coordenadas de C forem (0,0,0) a equação reduzida (canônica) de S é: x2 + y2 +…

(-3,3) e (3, -2). O que você pode dizer sobre a forma do gráfico? 9. Esboce os gráficos das funções abaixo: a) = (Parte triangular do plano). b) = (Semi-esfera) c) = (Região cônica) d) (Elipsóide) e) (Hiperbolóide uma folha) f) (Hiperbolóide duas folhas) g) (Região cônica) h) (Hiperbolóide duas folhas) i) (Elipsóide) j) (Parabolóide…

Esboce o gráfico da função Exemplo 6 Esboce o gráfico da função g EXERCÍCIOS 7) Seja , determinar: a) Calcule  b) Determine o domínio da função; c) Determine a imagem da função. 11) Determine e faça o esboço do domínio da função: 15) Determine e faça o esboço do domínio da função: 23) Esboce o gráfico da função: 25) Esboce o gráfico da função:  CURVA DE NÍVEL Exemplo 10 Esboce as curvas de nível da função  para os valores de  Exemplo 11 Esboce as curvas de nível…