Geometria anlitica

Disponível somente no TrabalhosFeitos
  • Páginas : 8 (1776 palavras )
  • Download(s) : 0
  • Publicado : 24 de agosto de 2011
Ler documento completo
Amostra do texto
GUIDG.COM – PG. 1

14/4/2010 – ALGA-1: Exercícios Resolvidos – Superfícies Quádricas
* Do Livro de Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle.

1 – Revisão de conteúdo. 2 – Veja alguns exemplos gráficos de superfícies geradas a partir do computador. Partindo de exercícios mais simples, e seguindo até as formas mais complicadas.

Uma brevíssima revisão das equações e dosgráficos de superfícies: Elipsóide: Centro C(0, 0, 0): 2 2 2 xff yff zff ff ff ff ff ff f f f + 2 + 2f= 1 a2 b c O sinais da equação são positivos. a, b e c são os eixos das elipses. Centro C(h, k, l):
b c2 ` a2 a2 yffffff `ffffff @ffff ffffff kfff zfffff xffffff ffff @h @l fffffff ffffff ffffff ffffff fff f ffffff

a2

+

b

2

+

c2

=1

Hiperbolóide de uma folha:

Centro C(0, 0,0). Um dos sinais é sempre negativo.
2 2 2 xff yff zff ff ff f f f (1) + + - : ff+ ff ff 1 @ 2f= a2 b2 c 2 2 2 xff yff zff ff ff f f f f (2) + - + : ff ff+ ff 1 @ 2 = 2 2 a c b 2 2 2 xff yff zff ff ff f f f f (3) - + + : @ ff+ ff+ ff 1 = a2 b2 c2

Hiperbolóide de duas folhas:

Centro C(0, 0, 0). Dois sinais são sempre negativos.
2 2 2 xff yff zff ff ff f f f (1) + - - : ff ff ff 1 @ 2 @ 2f= a2b c 2 2 2 xff yff zff ff ff f f f (2) - + - : @ ff+ ff ff 1 @ 2f= a2 b2 c 2 2 2 xff yff zff ff ff f f f f (3) - - + : @ ff ff+ ff 1 @ 2 = 2 2 a c b

GUIDG.COM – PG. 2 Parabolóide Elíptico: Os sinais são iguais. ax, by, cz (1)
2 2 xff yff ff ff ff ff f + ff cz = a2 b2
2 2 xff zff ff ff ff ff f f + 2 = by a2 c 2 2 yff zff ff ff ff ff ff f + 2 = ax 2 c b

(2)

(3)

Parabolóide Hiperbólico(Sela): Os sinais são contrários. (1)
2 2 yff xff ff ff ff ff f f @ 2 = cz 2 a b

2 2 zff xff ff ff ff ff f f (2) 2 @ 2 = by c a 2 2 zff yff ff ff f f ff f @ 2 = ax c2 b

(3)

Superfície Cônica:

Equações semelhantes às do Elipsóide porem igualadas à zero. O termo de sinal negativo indica o eixo dos cones. 2 2 2 xff yff zff ff ff f f f (1) eixo z (fig. ao lado): ff+ ff ff 0 @ 2f= a2 b2 cz=0 , a = b, obtém-se uma superfície cônica circular. Mas se a ≠ b então obtém-se uma superfície cônica elíptica. O mesmo se aplica nas demais equações.
2 2 2 xff yff zff ff ff f f f f (2) eixo x: @ ff+ ff+ ff 0 = 2 2 2 a c b 2 2 2 xff yff zff ff ff ff ff ff f f f @ 2 + 2f= 0 a2 b c

(3) eixo y:

GUIDG.COM – PG. 3 Superfície Cilíndrica:

O gráfico se auto explica, mas faremos algumasconsiderações Imagine que você tenha uma equação de uma curva, então ela pode ser: uma circunferência, elipse, hipérbole ou parábola, mas não limitando-se apenas à estas curvas. Esta equação é chamada de diretriz, porque realmente dará uma direção ao plano. Imagine que as retas vermelhas estão avançando na direção (tanto faz o sentido) da curva azul, então elas estão gerando o plano, por isso são asgeratrizes. Se as retas se movessem muito rápido na direção da diretriz, então viríamos apenas o seu rastro formando um plano (figura ao lado). Exemplos:

x = 2y
2

2 2 xff zff ff ff ff f f + f= 1 4 9

Superfícies degeneradas: Ainda existem casos onde os gráficos podem representar quádricas degeneradas, exemplos: a) b) c) d) e) x² - 16 = 0; dois planos paralelos: x = 4 e x = -4 3y² = 0; umplano: o plano y = 0 x² + 2y² = 0; uma reta: o eixo dos z. 2x² + 4y² + 5z² = 0; um ponto: a origem (0,0,0) 3x² + 2y² + z² = -3; o conjunto vazio.

(Exemplos do livro, pg;289, Observação.)

GUIDG.COM – PG. 4 Livro, pg. 289, 8.6 Problemas Propostos, exercício 01. Identificar as quádricas representadas pelas equações: b) 2x² + 4y² + z² - 16 = 0 Solução: 2x²fffffffff=fff fffffffffffffffffff4y²ffffffff ffffff +ffff16f f + ffff z² f ff 16 x=0 ,

[

x²f y²f z²f ff ff ff f f ff ff f f f + f+ f = 1 8 4 16

y²f z²f ff ff ff ff f f f + f= 1 4 16 elipse: a = ±4 , b = ±2 .
x²f z²f ff ff f f ff f ff + =1 8 16 w w w w w w w w w w w w elipse: a = ±4 , b = ± p8 = 2 p2 ≈ 2,83

y=0 ,

x² f y²f f f ff f f z = 0 , ff ff= 1 + f 8 w 4 w w w w w w w w w w w p8 = 2 p2 ≈ 2,83 , b = ±2 elipse: a =...
tracking img