Derivadas Direcional Gradiente

de linha ao longo de uma curva fechada no plano com a integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Seja C uma curva simples fechada derivável e D a região do plano delimitada por C. Sejam P e Q duas funções reais de variável real r com derivadas parciais contínuas numa região contendo D, logo:  ∂Q ∫ Pdx + Qdy C = ∂P  ∫∫  ∂x − ∂y  D dA Como forma de evidenciar que a primeira integral é definida ao longo de uma curva fechada, pode-se representá-la la da seguinte…

abóbadas); - Cálculo diferencial de funções de mais de uma variável, equações diferenciais ordinárias e parciais: equação diferencial de vigas sobre base elástica, equação da placa (lajes), dinâmica das estruturas (vibrações). - Derivadas direcionais e gradientes: aplicações em estruturas e hidráulica. Se o Engenheiro for da área de pesquisa (Scientist Engineer, como dizem os americanos), todos estes tópicos e muitos outros mais avançados são básicos para o desempenho de suas funções.

de suas derivadas. Podemos classificar uma equação diferencial quanto a sua ordem, que nada mais é do que a ordem da mais alta derivada presente na equação. Exemplos : Equação diferencial de 1ª ordem ( ) Não confunda com y” + y’ – 6y = 0 Equação diferencial de 1ª ordem Equação diferencial de 2ª ordem Equação diferencial de 2ª ordem Em geral, chamamos de solução da equação diferencial, a função y = f(x) ( por exemplo ) de forma que y = f(x) e/ou suas…

. . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 23 34 4 Derivadas parciais 4.1 Revis˜ao do conceito de derivada para func¸a˜ o de uma vari´avel 4.2 Definic¸a˜ o de derivadas parciais e as suas propriedades . . . . 4.3 A interpretac¸a˜ o geom´etrica das derivadas parciais . . . . . . . 4.4 Derivadas parciais de ordens superiores . . . . . . . . . . . . . 39 39 40 44 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 CAPÍTULO 1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS GERAIS Toda equação diferencial envolve basicamente uma função desconhecida ( diferenciável ) e uma ( ou mais ) de suas derivadas. Podemos classificar uma equação diferencial quanto a sua ordem, que nada mais é do que a ordem da mais alta derivada presente na equação. Exemplos : = Equação diferencial de 1ª ordem = + = Equação diferencial de 1ª ordem Não confunda com y” + y’ – 6y = 0

. . . . . . . . 3.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 23 34 4 Derivadas parciais 4.1 Revis˜ o do conceito de derivada para funcao de uma vari´ vel a ¸˜ a 4.2 Definicao de derivadas parciais e as suas propriedades . . . . ¸˜ 4.3 A interpretacao geom´ trica das derivadas parciais . . . . . . . ¸˜ e 4.4 Derivadas parciais de ordens superiores . . . . . . . . . . . . . 39 39 40 44 45 . . . . . . . . . . . .

Aplicação de Derivada Segue abaixo alguns exemplos de otimização fazendo uso de derivadas. Vejam que para encontrarmos os valores de máximo ou mínimo, primeiramente devemos encontrar a função que nos leva à solução do problema, calcular sua derivada, obtendo uma função dependendo somente de uma variável. Em seguida, igualamos a zero, obtendo uma equação. Agora é só calcular seu valor e obteremos o valor de máximo ou de mínimo. Exemplo 1: Dado um cone de geratriz

1. Para as funções abaixo, determine as derivadas que se pede: a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 + 𝑥 2 𝑦 2 − 2𝑦 2 calcule 𝑓𝑥 (2,1) 𝑒 𝑓𝑦 (2,1) , b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4 − 𝑥 2 − 2𝑦 2 , calcule 𝑓𝑥 (1,1) 𝑒 𝑓𝑦 (1,1) 𝑥 c) 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛 ( 1+𝑦 𝜋 𝜋 2 2 ) , calcule 𝑓𝑥 ( , 0) 𝑒 𝑓𝑦 ( , 0) d) ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒 𝑥𝑦 𝑙𝑛𝑧 , calcule 𝑓𝑥 (0,1,1) , 𝑓𝑦 (1,2, 𝑒) 𝑒 𝑓𝑧 (0,1,2) 2. Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑥𝑦 𝑦−1

2 2 De modo que sua primeira derivada é: Filtros de Canny 1 %\ P\VHOI *′( [) = 2π σ − 3 ¡ −[ H 2σ 2 2 A forma destas duas expressões, isto é a Gaussiana e sua derivada em 1D, são mostradas na figura 2, no gráfico foi usado um desvio padrão que tornasse o valor máximo 1.0 , isto é foi  usado ) = 1/(2%)  0,1592. Figura 2 - Exemplo de curva Gaussiana com variância (desvio padrão)2 =1/(2%)  0,1592 e sua derivada ambas em 1D A idéia do…

de função escalar, integral de linha de campo vetorial. Propriedades: Principais propriedades. Teorema de Green: Enunciado do teorema e aplicações. 3. Campos Escalares e Vetoriais: Definições: Definições e aplicações Derivada direcional: Definições e aplicações Gradiente: Definições e aplicações Divergência: Definições e aplicações Rotacional: Definições e aplicações Laplaciano: Definições e aplicações 4.Superfícies em IR3: Superfícies de nível: Definições e exemplos.…