Exatas

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1

CAPÍTULO 1
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS GERAIS

Toda equação diferencial envolve basicamente uma função desconhecida ( diferenciável ) e uma
( ou mais ) de suas derivadas.
Podemos classificar uma equação diferencial quanto a sua ordem, que nada mais é do que a
ordem da mais alta derivada presente na equação.
Exemplos :






=

Equação diferencial de 1ª ordem

= +




=Equação diferencial de 1ª ordem



Não confunda com

y” + y’ – 6y = 0




.

Equação diferencial de 2ª ordem

Equação diferencial de 2ª ordem

Em geral, chamamos de solução da equação diferencial, a função y = f(x) ( por exemplo ) de
forma que y = f(x) e/ou suas derivadas satisfaçam a equação diferencial.

Exemplo :
● Seja a equação diferencial y’ + 3y = 0.Tomemos y = e-3x + C logo, a derivada é y’ = -3e-3x,
daí substituindo em y’ + 3y = 0 sem a constante “C”, temos (-3e-3x) + 3(e-3x) = -3e-3x - 3e-3x = 0,
logo, y = e-3x é uma solução da equação diferencial de 1ª ordem.
● Testando agora y = 4e-3x + C, temos y’ = -12e-3x, substituindo em y’ + 3y = 0 sem a constante
“C”,

temos (-12e-3x) + 3(4e-3x) = -12e-3x + 12e-3x = 0. Veja então que qualquerconstante

multiplicativa “k” agregada à solução y = f(x) = e-3x irá satisfazer a equação diferencial, logo temos
que y = ke-3x + C é solução geral ( Família de soluções ) da equação diferencial apresentada.

2
Na maioria dos problemas de equações diferenciais, não estamos interessados na solução geral,
mas sim numa solução específica que satisfaça as chamadas “condições iniciais” ou“condições
de contorno”; tais problemas são chamados de “problemas de valor inicial”.
2−c e t

● Verificaremos agora que y = 2+c e t é solução de

dy
dt

1

= 2 y 2 − 1 para qualquer valor de “c”;

após isto, encontre uma solução da equação diferencial acima que satisfaça a condição inicial onde
t = 0 e y = 3.

Resolução :

Temos ...
2 −c e t

y=

2 +c e t



dy
dt

−c e t=

2 +c e t − 2 −c e t

cet

2 +c e t 2

=

−2 c e t −c 2 e 2 t −2 c e t +c 2 e 2 t
2 +c e t 2



dy
dt

=−

4c e t
2 +c e t 2

(1)

Pelo texto ...
dy
dt



dy
dt

=

1
2

=−

y2 − 1 =
4c e t
2 +c e t 2

1

2 −c e t

2

2

2 +c e t

−1 =

1

2 −c e t

2

− 2 +c e t

2 +c e t 2

2

2

=

1 4 −4 c e t +c 2 e 2 t −4 −4 c et −c 2 e 2 t
2

2 +c e t 2

=

1
2

−8 c e t
2 +c e t 2



(2)

2−c e t

● Como (1) e (2) são iguais, podemos concluir que y = 2+c e t é solução geral da equação
diferencial

dy
dt

=

1
2

y2 − 1 .

Aplicando a condição inicial ...

y=

2 −c e t
2 +c e t

t=0

com

y=3

∴ 3=

2 −c e 0
2 +c e 0

⟹3=

2 −c
2 +c

⟹ 6 + 3c = 2 − c ⟹ 3c + c = 2 −6 ⟹ 4c = −4

Daí ...
y=

2 −c e t
2 +c e t

com c = −1 ∴ y =

2 −(−1 )e t
2 +(−1 )e t

⟹ =

+


Solução do valor inicial .

c = -1

3
Exercícios :

Verifique se “y” é solução das equações:
1 ) y’ = 3x2



y = x3 + 3

2 ) y’ = 6x2 – 1



y = 2x3 – x + 1

3 ) y’ + 2y = 0



y = e-2x

4 ) y’ – 2xy = 0



y = 3



y = 2x3



y = 4x2→

y = x2



y =



y = 2e2x



y =

5)
6)

dy
dx
dy
dx

3

−xy= 0
2

−xy= 0
d2y

7 ) x 2 d x 2 − 2y = 0
d2y

dy

8 ) x d x 2 + 2 dx = 0
9)

d2y

10 )

dx2

dy

− dx − 2y = 0

d2y
dx2

dy

− 3x² dx − 6xy = 0









11 ) Mostre que y = 2 + − é solução da equação diferencial y’ + 3x²y = 6x².

12 ) Verifique se =
y(1) = 2.

+é solução da equação diferencial x²y’ + xy = 1, com condição inicial

4

CAPÍTULO 2
MODELAGEM MATEMÁTICA

Um dos campos mais importantes de aplicações das equações diferenciais ordinárias é a
MODELAGEM MATEMÁTICA que obedece basicamente QUATRO ETAPAS ( Nem sempre
bem definidas ) :

1 ) Elaboração de um modelo matemático que descreva um fenômeno estudado.

2 ) Delinear um...
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