Transformada de laplace

Capítulo 8
Transformada de Laplace
A transformada de Laplace permitirá que obtenhamos a solução de uma equação diferencial ordinária de coeficientes constantes através da resolução de uma equação algébrica.
A transformada de Laplace de uma função f é uma transformada integral. Isto é, ela é da forma: β Y (s ) =

(8.1)

K (s, t) f (t) dt. α A função K (s, t) é chamada de núcleo da transformada.
Para definir a transformada de Laplace, precisaremos da noção de integral imprópria. Veja [L].
Definição 30. Seja f : [0, +∞) −→ R. A transformada de Laplace da função f (t) é denotada e definida por:
∞

e−st f (t) dt,

F (s) = L{f (t)} =
0

se a integral imprópria converge, pelo menos para algum valor de s.
No caso da transformada de Laplace, o núcleo da transformada é e−st .
Exemplo 94. f (t) = 1, t ≥ 0
Aplicamos a definição:
A

∞

e−st dt = lim

F (s) = L{1} =
0

A→∞

e−st dt = lim
0

se s > 0.
Exemplo 95. f (t) = ekt , t ≥ 0

209

A→∞

−

1 e−sA 1
=,
+ s s s Aplicamos a definição:
∞

F (s) = L{ekt} =

∞

0

0

A
(k −s)t

= lim

A→∞

=

e(k−s)t dt

e−st ekt dt =

e

e(k−s)A
1
−
−
k−s k−s dt = lim

A→∞

0

1
,
s−k

se s > k .
Exemplo 96. f (t) = t3 , t ≥ 0
Aplicando a definição:
A

∞

F (s) = L{t3 } =

e−st t3 dt

e−st t3 dt = lim

A→∞

0

0

e−sA A3 3e−sA A2 6e−sA A 6e−sA
6
6
= lim −
−
−
−
+ 4 = 4,
2
3
4
A→∞ s s s s s s se s > 0.
Exemplo 97. f (t) =

0 se 0 ≤ t < 5
5 se 5 ≤ t
A

∞
−st

F (s) = L{f (t)} =

e

A→∞

0
−5s

e

= 5 lim

s

A→∞

e

s

5

−5s

−sA

−

5 e−st dt

f (t)dt = lim
=

5e s ,

se s > 0.
Como a transformada de Laplace envolve integração, é natural que a transformada herede propriedades da integral. Uma destas propriedades é a linearidade.
Sejam f e g duas funções cujas transformada de Laplace existem para s > a1 e s > a2 , respectivamente. Então, para s > max{a1 ,