transformada de laplace

Introdução aos Circuitos Elétricos
A Transformada de Laplace

Prof. Roberto Alves Braga Jr.
Prof. Bruno Henrique Groenner Barbosa
UFLA - Departamento de Engenharia

A Transformada de Laplace

História
Pierri Simon de Laplace (1749–1827), astrônomo, matemático e físico francês, nasceu na localidade de Beumont, Província da Normandia. Fez importantes contribuições à mecânica celeste e em sua obra “Theórie
Analitique”(1812) apresenta a transformada que leva o seu nome, a Transformada de Laplace. Considerado um dos mais influente cientista francês de toda a história.

A Transformada de Laplace

Introdução
Importante ferramenta de trabalho em engenharia
Abordagem de problemas em uma nova dimensão: s
Principal objetivo:
Resolver equações diferenciais lineares

Normalmente vista em disciplinas como cálculo
Apenas uma breve introdução será apresentada nesta disciplina A Transformada de Laplace
Etapas:
1. Um problema difícil é transformado em uma equação simples (equação subsidiária)
2. Resolve-se a equação subsidiária mediante manipulações puramente algébricas
3. A resolução da equação subsidiária é transformada novamente para se obter a solução do problema dado
(tabela)

A Transformada de Laplace
Definição:
Seja f (t) uma função qualquer no domínio do tempo
(t > 0). Assim a transformada de Laplace de f (t) é dada por: ∞

e −s t f (t) dt

L{f (t)} = F(s) =
0

sendo s um número complexo: s = σ + jω
Não vamos entrar em detalhes sobre condições e definições, vamos aprendê-la por meio de exemplos
Inicialmente faremos a transformada de algumas funções e depois veremos algumas aplicações

A Transformada de Laplace
Exemplo 1: A função degrau

f (t) = 1 quando t > 0. Encontrar L{f (t)}
L{f (t)} = L{ 1 } = F(s),
∞

∞

F(s) =

e
0

−s t

−1 −s t dt = e s

Assim, quando s > 0,
L{1} =

1 s 0

A Transformada de Laplace
Exemplo 2: A função exponencial

f (t) = e α t quando t > 0 e α é constante. Encontrar L{f (t)}
L{f (t)} = L{ e α t } = F(s),
∞

∞

e α t e −s t dt =

F(s) =
0