Transformada de laplace

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Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia

TRANSFORMADA DE LAPLACE

BELÉM
2012

TRANSFORMADA DE LAPLACE
Trabalho apresentado ao professor Luís Tadaiesky da disciplina de Matemática Aplicada a Engenharia II da turma de Engenharia Civil Matutino.

BELÉM
2012
SUMÁRIO
1) Introdução........................................................................................................ 04
2) Definição da Transformada de Laplace ........................................................ 05
3) Linearidade da Transformada de Laplace .................................................... 06
4) Transformada Inversa de Laplace ................................................................. 08
5) Existência da Transformada de Laplace....................................................... 09
6) Transformadas de Derivadas e Integrais ...................................................... 12
7) Tabela das Transformadas de Laplace .......................................................... 14
8) Tabela de Propriedades das Transformadas de Laplace ............................. 14
9) Conclusão.......................................................................................................... 15
10) Referências Bibliográficas ............................................................................... 16

1) INTRODUÇÃO:
Transformada de Laplace é um método simples para transformar um problema com valores iniciais, em uma equação algébrica, de modo a obter uma solução deste problema sem o cálculo de integrais ederivadas para obter a solução geral da equação diferencial.
As transformadas de Laplace são muito usadas em diversas situações e existem muitos assuntos para abordar sobre a teoria, porém, nesse trabalho de pesquisa, abordaremos os principais tópicos, assim como relacionando sua teoria ao seu uso na Engenharia, expondo o motivo do estudo em Matemática aplicada a engenharia II.

2) DEFINIÇÃODA TRANSFORMADA DE LAPLACE:
A transformada de Laplace consiste na utilização de um método mais prático para a resolução de uma equação diferencial ordinária de coeficientes constantes, através de uma equação puramente algébrica.
Sua utilização se dá por meio de três passos:
* 1º passo – O problema de resolução complexa é convertido em uma equação simples, chamada equação subsidiária.
*2º passo – Resolve-se a equação subsidiária através de cálculos algébricos.
* 3º passo – A solução da equação é convertida para conseguir-se a solução para o problema dado.
Assim, consegue-se transformar a resolução de uma equação diferencial em uma resolução algébrica. A troca entre operações de cálculo e algébricas é chamada de cálculo operacional, sendo a transformada de Laplace o métodomais importante para este objetivo. Sua vantagem é o fato de solucionar problemas de maneira direta.
Sendo f(t) uma função que seja definida para todo e qualquer t ≥ 0, efetua-se a multiplicação dessa por e-st. Em seguida, integra-se o resultado em relação a t de zero até o infinito e, caso seja encontrado um resultado com valor finito e em função de s, esta função da variável s é chamada detransformada de Leplace da função f(t). Sua notação é L(f).
L(f) = F(s) = 0∞e-stf (t)dt
Assim sendo, a função original tem como variável t, e a sua tansformada tem como variável s.
* Exemplo 1: Sendo f(t) = 1 quando t ≥ 0, calcule F(s).
F(s) = 0∞e-stf (t)dt
F(s) = 0∞e-stdt
F(s) = -1 s e-st │0∞
F(s) = 1s (s > 0)

* Exemplo 2: Sendo f(t) = t quando t ≥ 0, calcule F(s).
F(s) = 0∞e-stf(t)dt
F(s) = 0∞e-stt dt
F(s) = -e-st (st + 1)s² │0∞
F(s) = 1s² (s > 0)
* Exemplo 3: Sendo f(t) = t² quando t ≥ 0, calcule F(s).
F(s) = 0∞e-stf (t)dt
F(s) = 0∞e-stt² dt
F(s) = e-st –stst+2-2)s³ │0∞
F(s) = 2s³ (s > 0)

* Exemplo 4: Sendo f(t) = eat quando t≥ 0 e a uma constante, calcule F(s).
F(s) = 0∞e-stf (t)dt
F(s) = 0∞e-steat dt
F(s) = 1 a-s e-(s-a)t │0∞
F(s) = 1 s-a...
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