Transformadas de laplace

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TRANSFORMADA DE LAPLACE
Neste capítulo tratamos de um método de resolução de equações diferenciais lineares de ordem n com coeficientes constantes e condições inicias, ou seja, a transformada de Laplace. 4.1 Definição Seja f(t) uma função dada para t ≥ 0, e suponhamos que f obedeça a certas condições de continuidade, a transformada de Laplace de f, que será simbolizada por L{f(t)} ou porF(s), se define pela equação: L{f(t)} = F(s) =
∞ 0



e − st f (t )dt

As condições de continuidade colocadas acima para a função f são: a primeira define que a função deva ser contínua por partes e a segunda que a função deva ser de ordem exponencial, ou
ct seja, que existam as constantes M, c e T tais que f (t ) ≤ Me para t > T.

Além disto, na integral acima trabalhamos com os conceitosvistos em Cálculo para integrais impróprias. Você deve fazer uma leitura de integrais que envolvem o símbolo de infinito (∞) em uma referência apropriada para o assunto. Também é importante lembrar que as funções neste capítulo serão definidas por f(t), uma vez que uma grande quantidade de problemas práticos trabalha com o tempo (t) como sendo a variável independente. Exemplos: (1) Calcular atransformada de Laplace da função f(t) = 1 para t ≥ 0. L{1} =



∞ 0

1 − 1 − st e .1dt = e = ;s>0 s s 0
− st



(2) Calcular a transformada de Laplace da função f(t) = e at para t ≥ 0. L{ e } =
at



∞ 0

e .e dt =

− st

at



∞ 0

e

( a − s )t

1 1 ( a − s )t dt = e = ;s> a s− a a− s 0



(3) Achar a transformada de Lalace da função f(t) = sen(at) para t ≥0.

L{sen(t)} =



∞ 0

−1 e sen(at )dt = ( e − st . cos(at ) − a
− st



se − st . cos(at ) dt ) = a 0




−1 s e − st .sen(at ) + = ( e − st . cos(at ) − .[ a a a



se − st .sen(at )dt ]) = a 0


a2 −1 s a ( e − st . cos(at ) − 2 .e − st .sen(at )) = 2 ;s > 0 = 2 2 s + a a a s + a2 0 Omitimos neste último exemplo alguns passos nas integrais por partes queapareceram; constatamos então que quanto mais complexidade tiver as funções, suas integrais não são tão simples como imaginamos. Para tanto, vamos dispor de algo que já está calculado e aparece em várias referências que tratam de equações diferenciais. Assim como no cálculo dispomos de tabelas de integrais e derivadas, aqui usaremos uma tabela para as transformadas de Laplace, pois, como você viu,trata-se de uma integral imprópria. 4.2 Tabela Abaixo, apresentamos uma tabela com algumas funções que aparecerão no cálculo das equações diferenciais que trabalharemos na seqüência do assunto. Existem outras referências, onde você poderá encontrar mais de 100 funções tabeladas para a transformada de Laplace, nos restringimos às mais utilizadas neste capítulo. f(t) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 1 t tn e atsen(kt) cos(kt) t e at tn e at n! s n+ 1 L{f(t)} 1 s 1 s2 , n um inteiro positivo 1 s− a k 2 s + k2 s 2 s + k2 1 ( s − a) 2 n! , n um inteiro positivo (s − a) n+ 1

9. 10. 11. 12. 13. 14.

e at sen(kt) e at cos(kt) t sen(kt) t cos(kt) asen(bt ) − bsen(at ) ab( a 2 − b 2 ) cos(bt ) − cos(at ) (a 2 − b 2 )

k (s − a) 2 + k 2 s− a (s − a) 2 + k 2 2ks 2 (s + k 2 ) 2 s2 − k 2 (s 2 + k 2 ) 2 1 2 2( s + a )( s 2 + b 2 ) s 2 2 ( s + a )( s 2 + b 2 )

4.3 Propriedade A transformada de Laplace é um operador linear, ou seja: L{c1f1(t) + c2f2(t)} = c1L{f1(t)} + c2L{f2(t)} O mesmo vale para a transformada inversa de Laplace, que usaremos quando da resolução de equações diferenciais. 4.4 Teorema (Transformada de uma Derivada) Se f(t), f ’(t), f ’’(t), ..., f
(n - 1)

(t) forem contínuas em[0, +∞[, de ordem exponencial, e se

f (n)(t) for contínua por partes em [0, +∞[, então: L{f (n)(t)} = snF(s) – sn-1f(0) – sn-2f ’(0) - … - f (n-1)(0), em que F(s) = L{f(t)}. Como L{f
(n)

(t)}, n > 1 depende de f(t) e de suas (n – 1) derivadas no ponto t = 0, a

transformada de Laplace é apropriada para problemas lineares de valor inicial com coeficientes constantes. Esse tipo de equação...
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