Transformadas de laplace

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TRANSFORMADA DE LAPLACE
Neste capítulo tratamos de um método de resolução de equações diferenciais lineares de ordem n com coeficientes constantes e condições inicias, ou seja, a transformada de Laplace. 4.1 Definição Seja f(t) uma função dada para t ≥ 0, e suponhamos que f obedeça a certas condições de continuidade, a transformada de Laplace de f, que será simbolizada por L{f(t)} ou por F(s), se define pela equação: L{f(t)} = F(s) =
∞ 0

∫

e − st f (t )dt

As condições de continuidade colocadas acima para a função f são: a primeira define que a função deva ser contínua por partes e a segunda que a função deva ser de ordem exponencial, ou ct seja, que existam as constantes M, c e T tais que f (t ) ≤ Me para t > T.

Além disto, na integral acima trabalhamos com os conceitos vistos em Cálculo para integrais impróprias. Você deve fazer uma leitura de integrais que envolvem o símbolo de infinito (∞) em uma referência apropriada para o assunto. Também é importante lembrar que as funções neste capítulo serão definidas por f(t), uma vez que uma grande quantidade de problemas práticos trabalha com o tempo (t) como sendo a variável independente. Exemplos: (1) Calcular a transformada de Laplace da função f(t) = 1 para t ≥ 0. L{1} =

∫

∞ 0

1 − 1 − st e .1dt = e = ;s>0 s s 0
− st

∞

(2) Calcular a transformada de Laplace da função f(t) = e at para t ≥ 0. L{ e } = at ∫

∞ 0

e .e dt =

− st

at

∫

∞ 0

e

( a − s )t

1 1 ( a − s )t dt = e = ;s> a s− a a− s 0

∞

(3) Achar a transformada de Lalace da função f(t) = sen(at) para t ≥ 0.

L{sen(t)} =

∫

∞ 0

−1 e sen(at )dt = ( e − st . cos(at ) − a
− st

∫

se − st . cos(at ) dt ) = a 0
∞

∞

−1 s e − st .sen(at ) + = ( e − st . cos(at ) − .[ a a a

∫

se − st .sen(at )dt ]) = a 0
∞

a2 −1 s a ( e − st . cos(at ) − 2 .e − st .sen(at )) = 2 ;s > 0 = 2 2 s + a a a s + a2 0 Omitimos neste último exemplo alguns passos nas integrais por partes que