Transformadas de laplace

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TRANSFORMADA DE LAPLACE

1. INTRODUÇÃO

A transformada de Laplace pode ser usada para resolver problemas de valor inicial da forma Ay” + By' + Cy = f(t); y(0) = y0, y`(0) = y0` , para A, B, e C pertencente aos números reais.
Para isso, a equação diferencial é inicialmente transformada pela transformada de Laplace numa equação algébrica. Depois, resolve-se a equação algébrica e finalmentetransforma-se de volta a solução da equação algébrica na solução da equação diferencial inicial.
A transformada de Laplace pode ser entendida como a “caixa” da figura a seguir. Do lado esquerdo entram as funções originais e do lado direito saem as funções transformadas pela transformada de Laplace.



2. DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE

A transformada de Laplace da função f:[0,+∞)→ R édefinida por:

F(s)=£{f(t)}= = , para todo s ≥ 0, em que a integral converge.

Representamos a função original por uma letra minúscula e sua variável por t, sendo a sua transformada de Laplace pela letra correspondente maiúscula e sua variável por s. Assim, as transformadas de Laplace das funções f(t), g(t) e h(t) serão representadas por F(s), H(s) e G(s) respectivamente.

A transformadade Laplace é definida através de uma integral imprópria, isto é, uma integral na qual um dos limites é infinito. Nessas condições, a transformada de Laplace converge para um s > α. Esta condição dada é suficiente mas não necessária, o que quer dizer que podem existir funções que não atendem a essa condição, mas que possuem transformada de Laplace.

Exemplos:
1) Determine a transformada deLaplace de f(t) = 1
F(s) = £{(f(t)} =

2) Determine a transformada de Laplace de f(t) = t

F(s) =
Integrando por partes vem:
= .
Para s > 0, e .
Portanto, F(s) = = , s > 0.

3) Determine a transformada de Laplace de f(t) = eat

F(s)= =

3. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Vamos enunciar algumas propriedades relacionadas à Transformada de Laplace, no sentido defacilitar a resolução de equações diferenciais logo a seguir.

Teorema 01 (Linearidade):

Se a transformada de Laplace f(t) é F(s), para s > a1 e g(t) é G(s), para s > a2, então para constantes α, β temos que:
£(αf(t) + βg(t)) = α £(f(t)) + β£(g(t)) = α F(s) + β G(s), para s > max { a1, a2}
Exemplos:
1) Calcule £ (2sen3t + 3cos4t) com t > 0.
£ (2sen3t + 3cos4t) = £ (2sen3t) + £ (3cos4t)=£ (sen3t) + 4£ (cos4t) =
= 2 + 3
Portanto: £ (2sen3t + 3cos4t) = +

2) A transformada de Laplace do polinômio f(t) = 2t2 + 3t + 5 é:



Teorema 02 (1º Teorema do Deslocamento):

Seja a uma constante. Se a Transformada de Laplace da função f: [0, +∞) → R, s > c, é dada por F(s), então a transformada de Laplace da função g:[0, +∞) → definida por g(t) = eat f(t) será G(s) = F(s –a) para s > a +c.

Exemplos:

1) Calcule £(e2tf(t)), sendo f(t) = t4 com t > 0.
Sabemos que £ (f(t))= £ (t4) = 4!∕ s5 = 24∕ s5 . Fazendo uso do teorema anterior, teremos que £(e2tf(t)) = F(s-2) = 24∕ (s-2)5 com s > 2.

2) f(t) = e btcos at, sendo a e b constantes

F(s) = , para s > a.

Tabela de Transformadas

Eis aqui algumas transformadas que são úteis para facilitar oscálculos:

f(t)

1

t

tn




sen at

cos at

senh at

cosh at

t sen at

t cos at

4. INVERSA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Seja Eα o conjunto de todas as funções definidas em [0, + ∞) e assumindo valores em R que possuem a transformada de Laplace, isto é, Eα = {f : [0,+∞) → R ; F(s) = £(f(t))}. Sabemos que a transformada de Laplace é um operador linear eque, para todo par de funções f,g Eα com f ≠ g implica £(f) ≠ £ (g). Sendo assim, temos que ele possui um operador inverso, o qual será denominado de transformada de Laplace inversa £-1.

Definição: Uma transformada inversa de Laplace de uma função F(s), designada por £-1 é outra função f(t), que goza da propriedade £ (f(t)) = F(s).

Teorema 1 (Teorema de Unicidade) :
Se £ (f(x)) = £...
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