Lei dos cossenos

Lei dos Cossenos
Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual a diferença entre a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados e o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo formado por estes lados.

a² = b² + c² - 2bc cos(A) b² = a² + c² - 2ac cos(B) c² = a² + b² - 2ab cos(C)

Demonstração: Temos três casos a considerar, dependendo se o triângulo ABC é acutângulo, obtusângulo ou retângulo.

1. Triângulo retângulo: Se o triângulo ABC é retângulo, com ângulo reto no vértice A. A relação
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a² = b² + c² - 2bc cos(A) 1. recai no teorema de Pitágoras.
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a² = b² + c² uma vez que cos(A)=cos(/2)=0.

2. Triângulo acutângulo: Seja o triângulo ABC um triângulo acutângulo com ângulo agudo correspondente ao vértice A, como mostra a figura.
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Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do triângulo relativa ao lado AB), passando pelo vértice C. Aplicando o Torema de Pitágoras no triângulo CHB, temos:
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a² = h²+(c-x)² = h²+(c²-2cx+x²) =
=(h²+x²)+c²-2cx (Eq.1)
No triângulo AHC, temos que b²=h²+x² e também cos(A)=x/b, ou seja, x = b cos(A)
Substituindo estes resultados na equação (Eq. 1), obtemos:
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a²=b² + c² - 2bc cosA

3. Triângulo obtusângulo: Seja o triângulo obtusângulo ABC com o ângulo obtuso correspondente ao vértice A, como mostra a figura.
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Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do triângulo relativa ao lado AB), passando pelo vértice C. Aplicando o Torema de Pitágoras no triângulo CHB, temos que:
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a² = h²+(c+x)² = h²+(c²+2cx+x²) =
=(h²+x²)+c²+2cx (Eq.2)
No triângulo AHC, temos que b²=h²+x² e também: