lei dos cossenos

Considerando a figura, podemos observar 3 triângulos:2 ABC, BCD, BAD \,\!.
Demons cossenos.png
Destes, pode-se extrair as seguintes relações: b = n + m \,\! e m = c \cdot cos \widehat{A} \,\!.
Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos para BCD:2 a^2 = n^2 + h^2 \,\! e para BAD: c^2 = m^2 + h^2 \,\!
Substituindo:
n = b - m \,\! e h^2 = c^2 - m^2 \,\! em a^2 = n^2 + h^2 \,\! teremos: a^2 = (b - m)^2 + c^2 - m^2 \,\! a^2 = b^2 - 2b \cdot m + m^2 + c^2 - m^2 \,\! a^2 = b^2 + c^2 - 2b \cdot m \,\!
Entretanto, pode-se substituir a relação m = c \cdot cos \widehat{A} \,\!, do triângulo BAD \,\!, na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos: a^2 = b^2 + c^2 - 2b \cdot c \cdot cos \widehat{A} \,\!
Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações: b^2 = a^2 + c^2 - 2a \cdot c \cdot cos \widehat{B} \,\! c^2 = a^2 + b^2 - 2a \cdot b \cdot cos \widehat{C} \,\!
Forma Vetorial[editar]
Outro modo de demonstrar é usando geometria analítica com vetores: Definimos um vetor \vec{a} como sendo igual a \vec{b}-\vec{c} temos um triângulo formado pela soma \vec{a}+\vec{c} e o resultante \vec{b}. Sabendo que u^2=\|\vec{u}\|^2 e \vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|\cdot cos(\theta) sendo \theta o ângulo entre os vetores \vec{u} e \vec{v} temos o seguinte desenvolvimento:

Triângulo formado por vetores
\vec{a}=\vec{b}-\vec{c}
\vec{a}^2=\|\vec{a}\|^2=\|(\vec{b}-\vec{c})\|^2
\|\vec{a}\|^2=(\vec{b}-\vec{c})\cdot(\vec{b}-\vec{c})
\|\vec{a}\|^2=\|\vec{b}\|^2-2\vec{b}\cdot\vec{c}+\|\vec{c}\|^2
\|\vec{a}\|^2=\|\vec{b}\|^2+\|\vec{c}\|^2-2\|\vec{b}\|\cdot\|\vec{c}\|\cdot cos(\theta)
Que pode ser representado como a lei dos cossenos que conhecemos: a^2=b^2+c^2-2b\cdot c \cdot cos \widehat{A}
Já que \theta é o ângulo formado entre os vetores \vec{b} e \vec{c} e considerando que o ponto da origem de \vec{b} é o mesmo da origem de \vec{c}, dizemos