Lei dos cossenos

Lei cos cossenos

Seno: cateto oposto / hipotenusa
Cosseno: cateto adjacente / hipotenusa
Tangente: cateto oposto / cateto adjacente

Fórmula que representa a lei dos senos:

Na lei dos senos utilizamos relações envolvendo o seno do ângulo e a medida oposta ao ângulo.

Exemplo 1

Determine o valor de x no triângulo a seguir.

sen120º = sen(180º – 120º) = sen60º = √3/2 ou 0,865 sen45º = √2/2 ou 0,705

Exemplo 2

No triângulo a seguir temos dois ângulos, um medindo 45º, outro medindo 105º, e um dos lados medindo 90 metros. Com base nesses valores determine a medida de x.

Para determinarmos a medida de x no triângulo devemos utilizar a lei dos senos, mas para isso precisamos descobrir o valor do terceiro ângulo do triângulo. Para tal cálculo utilizamos a seguinte definição: a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. Portanto:

α + 105º + 45º = 180º α + 150º = 180º α = 180º – 150º α = 30º

Aplicando a lei dos senos

Lei do Cosseno e Lei do Seno
Lei dos Cossenos
-
Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles. A saber: -
Demonstração
Esta é uma das maneiras de demonstrar a lei dos cossenos.
Considerando a figura, podemos observar três triângulos:

Destes, pode-se extrair as seguintes relações: e
Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos:
Para
Para
Substituindo e em

Entretanto, pode-se substituir a relação do triângulo na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:

Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:

Aplicação
A Lei dos Cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triângulo conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do ângulo oposto a esse. Ela também permite calcular todos os ângulos de um triângulo,