Integral

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CAPÍTULO 8 - APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA

8.1- A Integral Definida para Cálculo de Área
A integral definida de uma função f(x), num intervalo [a,b] é igual à área entre a curva de f(x) e o eixo dos x.
y

f(x)
f1

f1

x

∆x
a + ∆x

b



f ( x ) dx =



a + 2 ∆x
a + ∆x

a

a

∫ f 2 dx

f 1 dx +

+ ... = f 1 ∫ dx + f 2

∫ dx

+ ...

pois, o f i para umdado retângulo é constante
= f 1 ∆x + f 2 ∆x + ... = A1 + A2 + ... = A
b



f ( x ) dx = A área sob a curva

a

Exercícios
1) Determinar a área limitada pela curva y = 5x − x 2 e pelo eixo x.
5x − x 2 = 0
x (5 − x ) = 0

y = 5x − x 2

x = 0

x = 5
0

A=



5

0

5x − x 2 dx = 5.

x2 x3

2
3

5

5

=
0

53 53 5

= u.a.
2
36

2) Dada a funçãoy = x calcular a área sob o gráfico de x = 0 a x = 3 .
y
y=x
3

A=


0

3

3

f ( x ) dx =


0

2
x dx = x

2

3

=
0

9
2

x

Por geometria
128

A=

1
1
9
base × altura =
×3×3=
2
2
2

que é o mesmo resultado obtido por integração.
3) Calcule a área compreendida entre o eixo x e a curva

f(x) =

12
(x – 2x + 8), entre x = -2 e x = 4.
8

Ográfico da curva é:
y

f(x)

x
4
4
-2
0
4


 x3 x2
1  x3
12
2
=
A = ∫ x − 2 x + 8 dx =
− x + 8 x

+ x

8
8 3
8
 −2
 −2
 24




−2
4

=

(

)

 ( −2 ) 3 ( −2 ) 2

64 16
8
4
14 17 15
+
+2 =
+4+

− 2 =
+
=

8
24
8
24
8
3
6
2
 24




43
42
+424
8

y = x2 – 3x + 2 e o eixo x que é y = 0.

4) Calculara área da região limitada inferiormente pela curva
y

Nos dois pontos y = 0→ x2 – 3x + 2 =
0 fornece x1 = 1 e x2 = 2.

f(x)

b

0

1

b

A2 = +



x

2

∫ (x
2

f ( x ) dx = +

a

∫ f ( x ) dx

2

= A , então

a

)

3
2
− 3 x + 2 dx =  x − 3 x + 2 x 



1

3


2

2

1


 8 3 × 4
1
 1 3

2 5 
A2 = +   −
unidades deárea
+ 4  − + − + 2   = +  −  =
3
2
32
3 6 6




8.1.1- A Integral Definida para Cálculo de Área de Funções Pares e Impares
Quando uma função é par ou impar o cálculo de sua área é feito dobrando a área calculada no primeiro
quadrante, isto é, quando se possui uma curva gerada por funções pares ou ímpares, existe uma simetria da função que
permite que a área A =

a

a∫

seja e dada por A = 2

f ( x ) dx

∫ f ( x ) dx .
0

−a

Exemplo: Se tivermos uma curva gerada por funções pares ou ímpares, existirão simetrias do tipo
y

Y

f(x)=x2

0

a

a

−a

−a

a

0

∫ f ( x) dx = 2∫ f ( x) dx

X
129

2

2
∫ x dx =

−2

2

2



2

x3
3

=
−2

3
x 2 dx = 2 × x

3

0

16
8
8
+
=
3
3
3

2=2×
0

16
8
=
3
3

Observação: Note que a curva é simétrica em relação a y.
No entanto, a função a seguir é ímpar e gera um gráfico assimétrico.
y
f(x)=x3
2

A área total A = 2

∫x

3

dx

0

-2

x

2

2

∫ f ( x ) dx = 0

A integral

porque a curva é assimétrica, e portanto, de sinal contrário em relação à origem.

−2
2

x4
A = 2 ∫ x dx = 2
4
0
2

∫xou

2

3

−2

3

dx =

4

x
4

0

x4
=
2

2

= 8 − 0 = 8 u .a.
0

2

=4−4=0

(integral nula)

−2

“A área deve ser considerada sempre positiva.”

8.1.2- A Integral Definida para Cálculo de Área entre Duas Funções
Teorema: A área entre os dois gráficos das funções f e g no intervalo [a,b] é dado por:

y

f(x)
g(x)

a

b

x

b

A=



f ( x) − g ( x ) dx e é sempre positiva.

a

130

Exercícios
1) Determinar a área limitada pelas curvas y = 5x – x2 e y = 2x.
y

y = 2x

y = 5x – x2

0

x

5

3

- Pontos de interseção

- Área
3


y = 5x − x 2

 y = 2x

2x = 5x − x

A = ∫ ( 5 x − x 2 − 2 x )dx
0
3

2

A = ∫ ( 3 x − x 2 )dx

x 2 − 3x = 0
x( x − 3 ) = 0

0

3

3x 2 x 3
A=

2...
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