Integrais

Matemática Superior - UVB

Aula 13 Técnicas de Integração
Objetivos da Aula
Estudar técnicas especiais de integração: integração por substituição e por partes, mostrando que estes processos são ferramentas poderosas para facilitar a integração de uma ampla classe de funções.

Regra da Substituição
É importante sermos capazes de encontrar antiderivadas. Mas nossas fórmulas de antidiferenciação não mostram como calcular integrais do tipo

Uma maneira de calcularmos esta integral é expandir a expressão (2x + 4) 5 e, em seguida, integrar o integrando resultante termo a termo. Alternativamente, vejamos se é possível simplificar a integral fazendo uma mudança de variáveis:

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Se substituirmos estas expressões na Equação [ 1 ], obtemos

Assim resolvendo esta integral teremos:

Portanto, usando este resultado e substituindo u por u = 2x + 4, obtemos

Podemos verificar que o resultado que acabamos de obter está correto calculando

e observando que este resultado é precisamente o integrando de [ 1 ]. Regra da Substituição [ 2 ] Se u = g(x) for uma função diferenciável cuja imagem é um intervalo I e f for contínua em I, então

Observe que a Regra da Substituição para a integração foi provada usando-se a Regra da Cadeia para diferenciação. Note também que se u = g(x), então du = g ’(x) dx, portanto, uma forma de lembrar a Regra da Substituição é imaginar dx e du em [ 2 ] como diferenciais. Assim, a Regra da Substituição estabelece que: é permitido operar com dx e du após os sinais de integrais como se fossem diferenciais.

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Método de Integração por Substituição
Para vermos porque o método que usamos no cálculo da integral foi bem-sucedido, escrevamos

Então g’(x) = 2 dx. Além disso, o integrando de é precisamente a composta de f e g. De fato

Portanto,

pode ser escrita como

Mostraremos em seguida que uma integral da forma pode