Integrais

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Matemática Superior - UVB

Aula 13 Técnicas de Integração
Objetivos da Aula
Estudar técnicas especiais de integração: integração por substituição e por partes, mostrando que estes processos são ferramentas poderosas para facilitar a integração de uma ampla classe de funções.

Regra da Substituição
É importante sermos capazes de encontrar antiderivadas. Mas nossas fórmulas deantidiferenciação não mostram como calcular integrais do tipo

Uma maneira de calcularmos esta integral é expandir a expressão (2x + 4) 5 e, em seguida, integrar o integrando resultante termo a termo. Alternativamente, vejamos se é possível simplificar a integral fazendo uma mudança de variáveis:

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Se substituirmos estas expressões na Equação [ 1 ],obtemos

Assim resolvendo esta integral teremos:

Portanto, usando este resultado e substituindo u por u = 2x + 4, obtemos

Podemos verificar que o resultado que acabamos de obter está correto calculando

e observando que este resultado é precisamente o integrando de [ 1 ]. Regra da Substituição [ 2 ] Se u = g(x) for uma função diferenciável cuja imagem é um intervalo I e f for contínua emI, então

Observe que a Regra da Substituição para a integração foi provada usando-se a Regra da Cadeia para diferenciação. Note também que se u = g(x), então du = g ’(x) dx, portanto, uma forma de lembrar a Regra da Substituição é imaginar dx e du em [ 2 ] como diferenciais. Assim, a Regra da Substituição estabelece que: é permitido operar com dx e du após os sinais de integrais como se fossemdiferenciais.

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Método de Integração por Substituição
Para vermos porque o método que usamos no cálculo da integral foi bem-sucedido, escrevamos

Então g’(x) = 2 dx. Além disso, o integrando de é precisamente a composta de f e g. De fato

Portanto,

pode ser escrita como

Mostraremos em seguida que uma integral da forma pode serescrita como Suponhamos que F é uma antiderivada de f. Pela regra da cadeia temos Portanto, Fazendo F ’ = f e efetuando a substituição u = g(x), temos

como queríamos mostrar. Assim, se a integral transformada pode ser diretamente calculada, como é o caso da integral , então o método da substituição será bem-sucedido. Podemos, agora, resumir os passos envolvidos na integração por substituição.Faculdade On-line UVB

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Passo 1. Considere u = g(x), onde g(x) é parte do integrando, em geral “a função interna” da função composta f (g(x)). Passo 2. Calcule du = g’(x) dx. Passo 3. Use a substituição u = g(x) e du = g’(x) dx para converter a integral em uma outra envolvendo apenas u. Passo 4. Calcule a integral resultante. Passo 5. Substitua u por g(x)para obter a solução final como função de x. Observação: Ás vezes é necessário considerarmos diferentes escolhas de g para a substituição u = g(x) para podermos executar os passos 3 e/ou 4. Exemplo 1: Calcule Solução: Passo 1. Observemos que o integrando envolve a função composta com “função interna” Assim, escolhemos Passo 2. Calculamos du = 2x dx. Passo 3. Fazendo a substituição , obtemos

umaintegral envolvendo de apenas a variável u.

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Passo 4. Calculamos Passo 5. Substituindo u por , obtemos

Exemplo 2: Calcule Solução: Passo 1. O integrando contém a função composta “função interna” Assim, seja Passo 2. Calculamos Passo 3. Fazendo a substituição

uma integral envolvendo apenas a variável u. Passo 4. Calculamos Passo 5.Substituindo u por obtemos

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Aplicação
Um estudo preparado pelo departamento de marketing da Companhia Universal Instruments projeta que, após a nova linha de computadores pessoais Galaxy ser introduzida no mercado, as vendas crescerão à taxa de unidades por mês. Encontre uma expressão que forneça o número total de computadores que...
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