Integrais

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9.2 Integrais Duplas
Integral dupla é uma extensão natural do conceito de integral definida para as funções
de duas variáveis. Serão utilizadas para analisardiversas situações envolvendo cálculo de
áreas e volumes, determinação de grandezas físicas e outros.
Definição
Considere uma função z  f (x, y) contínua edefinida numa região fechada e limitada
D do plano xy.
D
x
y
z
xk
Dyk
D
z  f (x,y)
Traçando retas paralelas aos eixos x e y, recobrimos a região D por pequenosretângulos.
D
x
y
xk
Dyk
D
DAk
Cálculo II – (Lauro / Nunes) 9-4
Considere somente os retângulos Rk que estão totalmente contidos em D, numerandoos
de 1 an.
Em cada retângulo Rk, tome o ponto Pk  (xk , yk) e forme a soma
SOMA DE RIEMANN: 

n
k
f
1
(xk , yk)DAk,
onde DAk  D xkDyk é a área do retânguloRk.
Traçando-se mais retas paralelas aos eixos x e y, os retângulos ficam cada vez
menores.
Toma-se mais retas tal que a diagonal máxima dos retângulos Rk tende azero quando n
tende ao infinito.
Então, se
n
lim 

n
k
f
1
(xk , yk)DAk
existe, ele é chamado INTEGRAL DUPLA DE f (xk , yk)DAk sobre a região D.Denota-se por:

D
f (x, y)dA ou 
D
f (x, y)dxdy.
Interpretação Geométrica
Se f (x, y)  0, f (xk , yk)DAk representa o volume de um prisma reto, cuja baseé o
retângulo Rk e cuja altura é f (xk , yk). A soma de Riemann 

n
k
f
1
(xk , yk)DAk é a aproximação
do volume limitado abaixo da região z e acima de D.Assim, se z  f (x, y)  0,

D
f (x, y)dxdy
é o VOLUME DO SÓLIDO delimitado superiormente pelo gráfico de z  f (x, y),
inferiormente pela região D.
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