Apostila de calculo

Disponível somente no TrabalhosFeitos
  • Páginas : 11 (2545 palavras )
  • Download(s) : 0
  • Publicado : 11 de abril de 2012
Ler documento completo
Amostra do texto
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL

APOSTILA DE CÁLCULO

Realização:

Fortaleza, Fevereiro/2010

II Curso Pré-Engenharia

Apostila de Cálculo

1. LIMITES
1.1. Definição Geral
Se os valores de f(x) puderem ser tão próximos quanto quisermos de L, fazendo x suficientemente
próximo de A (mas não igual a A), então escrevemos:

O que deve ser lido como “olimite de f(x) quando x tende a a é L”.
De outra forma, isso significa que os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos do número L à
medida que x tende ao número a, mas x≠ a.
Preste atenção na frase “mas x≠a”, significa que no limite de f(x) quando x tende a a nunca
consideramos x= a. Então, f(x) não precisa sequer está definida em a, somente nas proximidades de a.

Figura 1

Na figura 1, noteque, na parte (c), f(a) não está definida e, na parte (b), f(a) ≠L. Mas, em cada caso,
o limite é igual a L.

1.2. Limites Laterais
·

Definição

Dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a pela esquerda é igual a L, se pudermos tornar os
valores de f(x) arbitrariamente próximos de L, tornando x suficientemente próximo de a e x menor do que a,
e escrevemos:

Analogamente, definimos o limitede f(x) quando x tende a a pela direita e escrevemos:

Da definição geral de limite, concluímos que:

Página 2 de 24

II Curso Pré-Engenharia

Apostila de Cálculo

Ou seja, o limite de uma dada função existe, em um dado ponto, quando existirem os limites
laterais (no dado ponto) pela direita e pela esquerda, e os mesmos forem iguais.

1.3. Limites Infinitos
·

Definição

Seja f uma função definidaem ambos os lados de a, exceto possivelmente em a. Se podemos,
através de uma escolha adequada de x, nas proximidades de a, fazer os valores de f(x) ficarem
arbitrariamente grandes (tão grande quanto quisermos), então escrevemos:

E lê-se “o limite de f(x), quando x tende a a, é infinito”.
- Exemplo Resolvido
Queremos encontrar o limite
Para a função f(x)= 1/x², temos o seguinte gráfico

Figura2

Vemos que, à medida que x se aproxima de 0, x² também se aproxima de 0, e 1/x² fica muito
grande. Então, tomando valores de x próximos de 0, observamos que f(x) torna-se arbitrariamente grande e,
para indicar o comportamento da função, escrevemos:

Isso não significa considerar como sendo um número, é simplesmente uma forma de expressar
que o limite de f(x) pode assumir valores tão grandesquanto quisermos, bastando escolher valores de x
adequadamente próximos de 0.

1.4. Cálculo dos Limites
1.4.1. Utilizando a Definição Precisa de limite

Página 3 de 24

II Curso Pré-Engenharia

·

Apostila de Cálculo

Definição

Seja f uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número a, exceto
possivelmente em a. Então dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a é L, eescrevemos

Se para todo número

> 0 há um número correspondente

| f(x) – L| <

sempre que

> 0 tal que

0 < |x – a| <

Uma vez que |x – a| é a distância de x a a e | f(x) – L| é a distância de f(x) a L, e como
arbitrariamente pequeno, a definição de um limite pode ser expressa como:

pode ser

Significa que a distância entre f(x) e L pode ser arbitrariamente pequena tornando-se a distância de
x a asuficientemente pequena(mas não 0).
Uma interpretação geométrica pode ser dada, observando o gráfico da função e notando que uma
escolha de um > 0 menor implica um > 0 menor, como mostrado nas figuras 3 e 4.

·

Exemplo Resolvido

Prove que existe o limite

.

Inicialmente, devemos achar um
|(4x – 5) – 7| <

tal que
sempre que

0 < |x – 3| <

Temos que |(4x – 5) – 7| = |4x – 12| = |4(x – 3)| = 4|x –3|, então queremos
4|x – 3| <

sempre que

0 < |x – 3| <

|x – 3| < /4

sempre que

0 < |x – 3| <

Então podemos escolher

ou,

= /4.

Agora, devemos mostrar que a escolha de

funciona.

Se 0 < |x – 3| < , então
Página 4 de 24

II Curso Pré-Engenharia

Apostila de Cálculo

|(4x – 5) – 7| = 4|x – 3| < 4 =
Ou seja,
|(4x – 5) – 7| <

sempre que

0 < |x – 3| <

Portanto, pela definição de limite,...
tracking img