Apostila de calculo

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL

APOSTILA DE CÁLCULO

Realização:

Fortaleza, Fevereiro/2010

II Curso Pré-Engenharia

Apostila de Cálculo

1. LIMITES
1.1. Definição Geral
Se os valores de f(x) puderem ser tão próximos quanto quisermos de L, fazendo x suficientemente próximo de A (mas não igual a A), então escrevemos:

O que deve ser lido como “o limite de f(x) quando x tende a a é L”.
De outra forma, isso significa que os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos do número L à medida que x tende ao número a, mas x≠ a.
Preste atenção na frase “mas x≠a”, significa que no limite de f(x) quando x tende a a nunca consideramos x= a. Então, f(x) não precisa sequer está definida em a, somente nas proximidades de a.

Figura 1

Na figura 1, note que, na parte (c), f(a) não está definida e, na parte (b), f(a) ≠L. Mas, em cada caso, o limite é igual a L.

1.2. Limites Laterais
·

Definição

Dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a pela esquerda é igual a L, se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L, tornando x suficientemente próximo de a e x menor do que a, e escrevemos:

Analogamente, definimos o limite de f(x) quando x tende a a pela direita e escrevemos:

Da definição geral de limite, concluímos que:

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Ou seja, o limite de uma dada função existe, em um dado ponto, quando existirem os limites laterais (no dado ponto) pela direita e pela esquerda, e os mesmos forem iguais.

1.3. Limites Infinitos
·

Definição

Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente em a. Se podemos, através de uma escolha adequada de x, nas proximidades de a, fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes (tão grande quanto quisermos), então escrevemos:

E lê-se “o limite de f(x), quando x tende a a, é infinito”.
- Exemplo Resolvido
Queremos encontrar o limite
Para a função f(x)= 1/x², temos o seguinte gráfico

Figura 2