Apostila de calculo 1

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APOSTILA
DE
CÁLCULO
DIFERENCIAL
E
INTEGRAL

Apostila de Cálculo Diferencial e Integral I
Introdução
Esta apostila não foi feita com intuito de substituir o material pedagógico
usado em sala de aula. A criação desta é apenas com o simples dever de
auxiliar os alunos da PUC-GO em seu entendimento da matéria de Cálculo
Diferencial e Integral 1.
O uso desta apostila, não exclui a busca de novosmateriais didáticos,
como livros e outros. Lembrem-se estando cursando uma universidade,
deixam o título de apenas alunos e adquirem o de aluno-acadêmico,
àquele que tem a busca pela pesquisa e pelo conhecimento para uma
futura carreira.
Não deixem de pesquisar, de buscar novas fontes de ensino, permitam a si
mesmos a busca do conhecimento extraindo tudo que o professor tem a
lhes oferecer, use omaterial didático definido por seu educador, use este
material fornecido por mim (Danilo Menezes de Oliveira Machado –
Monitor de Calculo Diferencial e Integral 1) e acima de tudo pesquise
outros meios de auxilio ao seu entendimento.
Além desta apostila ofereço aos alunos uma tabela demonstrativa
contendo a demonstração e prova de 24 derivadas e 57 integrais, onde
utilizo diversos métodos matemáticospara conclusão e demonstração
destas afim de que seja um material de faço entendimento e também de
fácil aprendizado ao acadêmico do curso de exatas.
Desde já agradeço a todos pela atenção e desejo a todos um excelente
aprendizado e total conquista de seus objetivos.

2

Apostila de Cálculo Diferencial e Integral I

Tópico 1° - Limites
Diz-se que uma variável x tende a um número real se adiferença em
módulo de
tende a zero.
. Escreve-se:
(x tende a )
Exemplo: Se

,

quando N aumenta, x diminui,

tendendo a zero.

Propriedades:

3

Apostila de Cálculo Diferencial e Integral I

Exemplos:

4

Apostila de Cálculo Diferencial e Integral I
Exercícios:
1) Calcular os limites
a)

i)

b)

j)

c)

k)
l)

d)

21

e)

m)

f)

n)

g)
h)

Limites Laterais
Suponha que, quando x tende a pela esquerda,Isto é, por valores
menores que ,
tende ao número . Este fato é indicado por:
Suponha que, quando x tende a pela direita, Isto é, por valores menores
que ,
tende ao número . Este fato é indicado por:
Os números e são chamados, respectivamente, de limite à esquerda
de f em a e limite à direita de f em a e referidos como limites laterais de f
em a.

5

Apostila de Cálculo Diferencial e Integral IExercícios:
1) Seja a função definida pelo gráfico abaixo. Intuitivamente, encontre
se existir:

a)
b)
c)
d)
e)

6

Apostila de Cálculo Diferencial e Integral I
2) Seja a função definida pelo gráfico abaixo. Intuitivamente, encontre
se existir:

a)
b)
c)
d)
e)
f)
3) Dada a função
e

, determinar, se possível,

4) Seja

. Determinar:
,

.

7

,

Apostila de Cálculo Diferencial e Integral I
LimitesInfinitos
Ao investigamos
x para , o valor
limites.
Por exemplo:

Assim:

ou
pode ocorrer que, ao tender
da função ou aumente sem limite, ou decresça sem

e

São consideradas indeterminações: ,

Exemplos:
1)

indeterminado

8

,

,

Apostila de Cálculo Diferencial e Integral I
2)

indeterminado

Exercícios:

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Apostila de Cálculo Diferencial e Integral I
Continuidade

O conceito decontinuidade está baseado na parte analítica, no estudo de
limite, e na parte geométrica na interrupção no gráfico da função. Assim,
as funções
, abaixo, são todas descontínuas:

Definição:
Uma função é contínua em um ponto
1° passo 
domínio)

se:

é definida (tem que existir imagem para o valor

do

2° passo 
iguais)

existe (os limites laterais devem existir e serem

3° passo 

(o 1° e 2° passos devemser iguais).

A descontinuidade nos gráficos (1), (2) e (3) são chamados de
descontinuidade por salto, por ponto e infinita.

10

Apostila de Cálculo Diferencial e Integral I
Exemplos:
1- Estudar analiticamente a descontinuidade das funções:
a)

1° passo 
2° passo 

3° passo 
é descontínua por ponto ou removível em
descontinuidade basta fazer
para

. Para remover a
.

b)

1° passo 
2° passo...
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