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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL

APOSTILA DE CÁLCULO

Realização:

Fortaleza, Fevereiro/2010

II Curso Pré-Engenharia

Apostila de Cálculo

1. LIMITES
1.1. Definição Geral
Se os valores de f(x) puderem ser tão próximos quanto quisermos de L, fazendo x suficientemente próximo de A (mas não igual a A), então escrevemos:

O que deveser lido como “o limite de f(x) quando x tende a a é L”. De outra forma, isso significa que os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos do número L à medida que x tende ao número a, mas x≠ a. Preste atenção na frase “mas x≠a”, significa que no limite de f(x) quando x tende a a nunca consideramos x= a. Então, f(x) não precisa sequer está definida em a, somente nas proximidades de a.

Figura 1Na figura 1, note que, na parte (c), f(a) não está definida e, na parte (b), f(a) ≠L. Mas, em cada caso, o limite é igual a L.

1.2. Limites Laterais
· Definição

Dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a pela esquerda é igual a L, se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L, tornando x suficientemente próximo de a e x menor do que a, e escrevemos:Analogamente, definimos o limite de f(x) quando x tende a a pela direita e escrevemos:

Da definição geral de limite, concluímos que:

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Apostila de Cálculo

Ou seja, o limite de uma dada função existe, em um dado ponto, quando existirem os limites laterais (no dado ponto) pela direita e pela esquerda, e os mesmos forem iguais.

1.3. Limites Infinitos
·Definição

Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente em a. Se podemos, através de uma escolha adequada de x, nas proximidades de a, fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes (tão grande quanto quisermos), então escrevemos:

E lê-se “o limite de f(x), quando x tende a a, é infinito”. - Exemplo Resolvido Queremos encontrar o limite Para a funçãof(x)= 1/x², temos o seguinte gráfico

Figura 2

Vemos que, à medida que x se aproxima de 0, x² também se aproxima de 0, e 1/x² fica muito grande. Então, tomando valores de x próximos de 0, observamos que f(x) torna-se arbitrariamente grande e, para indicar o comportamento da função, escrevemos:

Isso não significa considerar como sendo um número, é simplesmente uma forma de expressar que olimite de f(x) pode assumir valores tão grandes quanto quisermos, bastando escolher valores de x adequadamente próximos de 0.

1.4. Cálculo dos Limites 1.4.1. Utilizando a Definição Precisa de limite

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·

Definição

Seja f uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número a, exceto possivelmente em a. Entãodizemos que o limite de f(x) quando x tende a a é L, e escrevemos

Se para todo número | f(x) – L| <

> 0 há um número correspondente sempre que 0 < |x – a| <

> 0 tal que

Uma vez que |x – a| é a distância de x a a e | f(x) – L| é a distância de f(x) a L, e como arbitrariamente pequeno, a definição de um limite pode ser expressa como:

pode ser

Significa que a distância entre f(x) e Lpode ser arbitrariamente pequena tornando-se a distância de x a a suficientemente pequena(mas não 0). Uma interpretação geométrica pode ser dada, observando o gráfico da função e notando que uma escolha de um > 0 menor implica um > 0 menor, como mostrado nas figuras 3 e 4.

·

Exemplo Resolvido . tal que sempre que 0 < |x – 3| <

Prove que existe o limite Inicialmente, devemos achar um |(4x– 5) – 7| <

Temos que |(4x – 5) – 7| = |4x – 12| = |4(x – 3)| = 4|x – 3|, então queremos 4|x – 3| < |x – 3| < /4 Então podemos escolher sempre que sempre que = /4. funciona. 0 < |x – 3| < 0 < |x – 3| < ou,

Agora, devemos mostrar que a escolha de Se 0 < |x – 3| < , então

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|(4x – 5) – 7| = 4|x – 3| < 4 = Ou seja, |(4x –...
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