Apostila de cálculo

Módulo ou Valor Absoluto nos Reais

Definição

Seja x є R ; definimos o módulo de x , como sendo

Propriedades :

1) 2)

3)

4) Módulo visto como uma distância :

Exemplos :
a)  x = ; S = { -9,+9}

Observe que -9 e +9 são eqüidistantes da origem ; ou seja , resolver a equação modular acima é determinar quais os números que distam da origem 9 unidades .

Conclusão : representa na reta real a distância de x até a origem .

b)  x-4 =7 ou x-4 = -7  x = 11 ou x = -3 ; S = { -3 , 11 }.

Observe que -3 e 11 são equdistantes de 4 .

Conclusão : representa a distância de x ao valor a na reta real .

4) { x є R/ < a ( a >0 ) } = [ -a , + a ]

5 ) { x є R/ > a ( a >0 ) } = ] - ∞ , -a ] [ a , + ∞ [

6) { x є R/ < k (k > 0 ) = ] a – k , a + k [

7) para todo x real

7) Desigualdade Triangular

Quando ocorre a igualdade ?

8)

Quando ocorre a igualdade ?

9) Um subconjunto A de é dito limitado, se existe um número L>0 de modo que

EXERCÍCIOS DE REVISÃO

1) Resolva nos reais :

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)

j)

k)

Vizinhança Furada nos Reais

Definição

Sejam a Є R e δ Є . Definimos a vizinhança furada de centro a e raio δ , o conjunto .
Observe que d(x,a) < δ com x ≠ a em R é a vizinhança furada .

Ponto de Acumulação nos Reais

Definição

Sejam a Є R e A .Dizemos que a é ponto de acumulação de A se e somente se toda vizinhança furada de a contém elementos de A.
Simbolicamente : a = acm(A) sss .

Exemplos :

1) Seja A = .

a) Verifique se 8 é ponto de acumulação de A .

Observando a figura acima , temos que 8 = acm(A) . O mesmo fato ocorre com 2.