R 1 R 2 E R3

O Produto Cartesiano NÃO É uma operação binária em P(S) ◦ Ele opera em um par ordenado de membros de P(S) e fornece um resultado único ◦ O conjunto resultante não é, em geral, um subconjunto de S. ◦ Exemplo: ▪ Sejam S = {1, 2, 3, 4}, A = {1, 2} e B = {3, 4} ▪ P(S) = { ∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4} } ▪ A x B = { (1,3), (1,4), (2,3), (2,4) } RELAÇÕES BINÁRIAS ◦ Deteminados pares ordenados de objetos em um…

x=0 y=0 co 1. Em R3 as solu¸˜es do sistema s˜o dadas por: a a) (0, 0, z) com z ∈ R. b) (x, y, 0) com x, y ∈ R. c) O sistema ´ imposs´ e ıvel, n˜o tem solu¸˜o. a ca d) (0, 0, 0) ´ a unica solu¸˜o. e ´ ca 2. Considere as seguintes matrizes: A= 3 −1 0 2 7 1 , B= 5 4 1 2 −3 −4 , C= Ent˜o: a a) 2A = b) AB = c) C 2 = 6 −2 0 . 2 7 1 15 −4 0 . 4 −21 −4 7 10 . 15 22 d) A + C = 4 −1 0 . 5 11 1 co 3. Seja A ∈ Rn×n com n ≥ 2.…

Como introdução à definição de transformação linear, consideremos dois exemplos. Exemplo 1:Reflexão em torno do eixo dos xx. Seja em R2 a função T definida por T(x, y) = (x, – y). Geometricamente, T toma cada vetor do R2 e o reflete em torno do eixo dos xx. Essa função, como veremos, é uma transformação linear. Exemplo 2:Consideremos a expressão matricial de um sistema de equações lineares Ax = b, onde A é uma matriz mxn

física de ddp é joule/coulomb. No SI, a unidade de ddp é o volt (V), de modo que, 1 volt = 1 joule/coulomb (1 V = 1 J/C) Por causa da unidade, muitas pessoas se referem à diferença de potencial como “voltagem”, embora essa designação não seja correta. Mais comum (e corretamente) é expressar a ddp como tensão elétrica ou, simplesmente como tensão, que é o termo que utilizaremos neste texto. Fonte de tensão 1 Para produzir uma tensão (ou fornecer a energia necessária…

1.2 SUBESPAÇOS VETORIAIS No exemplo 1 do item 1.1.3 nós mostramos que o R3, com as operações usuais, é um espaço vetorial. No exemplo 4 do mesmo item nós mostramos que W, com as mesmas operações, é também um espaço vetorial. Entretanto, podemos observar que W é um subconjunto de R3 que é ele próprio, um espaço vetorial. Na verdade, ocorre que dado um espaço vetorial V, é muitas vezes possível formar outro espaço vetorial usando um subconjunto W de V e as operações de V. Como V é um…

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – 1 – 2 – 2002 1 CIRCUITOS ELÉTRICOS – EXERCÍCIOS – 1 – 2 – 2002 1) Dados os seguintes parâmetros para o circuito da figura, determine as tensões nodais. R1 = 1 Ω R2 = 0,5 Ω R3 = 2 Ω R4 = 1 Ω iA = IA = 4 A vB = V B = 10 V iB = IB = 5 A O circuito apresenta 4 nós, sendo 1 nó de referência, portanto apresenta um sistema de 3 equações nodais. Sendo v4 = vB e vA = v2 – v3 v1 (G1 + G3 ) − v 2 .G1 − v 4 .G3 = i A 1,5.V1 − V 2 = 9 − v1 .G1 + v 2 ( G1 +…

de representar pontos no plano é utilizando coordenadas polares, neste sistema é necessário um ângulo (θ) e uma distância (r). Para medir θ , em radianos, necessitamos uma semi-reta orientada chamada eixo polar e para medir r, um ponto fixo chamado pólo. Se quisermos localizar um ponto (r, θ ) neste sistema de coordenadas, primeiro temos que traçar uma circunferência de raio r, depois traçar uma linha com um ângulo de inclinação θ e, por último, localizamos o ponto de intersecção entre…

ESPAÇO VETORIAL REAL DE DIMENSÃO FINITA Definição Sejam um conjunto não vazio V, o conjunto dos números reais R e duas operações binárias, adição e multiplicação por escalar. ⋅ : R ×V → V + : V ×V → V ( v, u ) a v + u ( k , v) a k ⋅ v V é um Espaço Vetorial sobre R, ou Espaço Vetorial Real ou um R-espaço vetorial, com estas operações se as propriedades abaixo, chamadas axiomas do espaço vetorial, forem satisfeitas: EV1. (Associativa) Para quaisquer v, u, w ∈V , ( v + u ) + w = v + (u

Tópico 2 – Associação de resistores e medidas elétricas Resolução: Tópico 2 a) Req = 3 + 7 ⇒ 1 Nas ilustrações a seguir, como estão associadas as lâmpadas: a) A e B? b) C e D? C A 113 D Req = 10 Ω b) 1 = 1 + 1 + 1 = 40 ⇒ Req 36 12 1 36 c) Req = 6 + 2 ⇒ 2 Req = 0,9 Ω Req = 5 Ω Respostas: a) 10 Ω; b) 0,9 Ω; c) 5 Ω 4 E.R. A figura representa a associação de dois resistores em série, em que a ddp U1 é igual a 12 V: B i1 R1 = 3 Ω i2 …

Lista 2 – Funções compostas, matrizes de transformações lineares 1-) Sejam F , G ∈ L( R 3 , R 2 ) definidas por F ( x, y, z ) = (0, 2 x) e G ( x, y, z ) = ( x − y, x) e H ∈ L( R 2 ) dado por H ( x, y ) = ( x + y, x − y ) . Determinar: Ho( F + G ) . H ∈ L( R 2 ) 2-) Sendo F,G e definidos por F ( x, y ) = ( x, 2 y ), G ( x, y ) = ( y, x + y ), H ( x, y ) = (0, x), determinar: F + H , FoG , Go( H + F ), e GoF , HoF , HoFoG e GoFoH . 3-) Sejam F , G ∈ L( R3 ) assim