Det 2a 3b 4c

matrizes A, B ∈ Mm×n (R), A = (aij ), B = (bij ), s˜ao iguais quando aij = bij , ∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈ {1, ..., n}. Exemplo 4 Vamos determinar a, b, c e d para que as matrizes 4 −9 2a 3b e 1 2c c+d 6 sejam iguais. Pela defini¸c˜ao de igualdade de matrizes, podemos escrever:  2a = 4     3b = −9 2a 3b 4 −9 = ⇒  c+d=1 c+d 6 1 2c    6 = 2c 11 CEDERJ Matrizes Álgebra Linear 1 Da´ı, obtemos a = 2, b = −3, c = 3 e d = −2. Numa matriz quadrada…

matrizes A, B ∈ Mm×n (R), A = (aij ), B = (bij ), s˜o iguais a quando aij = bij , ∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈ {1, ..., n}. Exemplo 4 Vamos determinar a, b, c e d para que as matrizes 2a 3b 4 −9 e c+d 6 1 2c sejam iguais. Pela defini¸ao de igualdade de matrizes, podemos escrever: c˜   2a = 4    3b = −9 2a 3b 4 −9 = ⇒  c+d=1 c+d 6 1 2c    6 = 2c 11 CEDERJ Matrizes Da´ obtemos a = 2, b = −3, c = 3 e d = −2. ı, Numa matriz quadrada A = (aij ), i,…

O 9 4 [-3 71] C~~ e Solução: 3 8] 9 -6 4 -1 7 1] 9 + [-3 2 5 = [_1 10 -1 -4 -9 11 O 9 4 7 13 3 J 3) Calcular C - A Solução: 7 -8 C-A = 4 -3 9 -5 4) Calcular 3A - 2B + 4C Solução: ~ ~l_ L~ ~ ~1 [~ ~~~ -~l d L -;J 7 4 = 2 -9 ~J Fazendo D = 3A - 2B + 4C, vem: D =3 23 8] [-3 [ -5 9 -6 7 4 -1 71]. [7-83] 2 -4 2 5 + 4 4 -3 2 9 -5 1 O 9 4 -14 _2J -4 -10 O -18 -8 [28. -32 16 -12 36 -20 12J 8 4 6 D = -15 [ 21 9 27 12 -37 11 -~J

(Aplicando a definição) A= segundo a definição será: B = Multiplicando as matrizes A x B = x = Temos um sistema de equações do primeiro grau. 7a – 5c = 1 7b – 5d = 0 2a + 4c = 0 2b + 4d = 1 O que dá dois sistemas a duas incógnitas cada: 7a – 5c = 1 2a + 4c = 0 7b – 5d = 0 2b + 4d = 1 Resolvendo as incógnitas temos: A = B = C = e D = Portanto a matriz inversa…

os vetores: AB = B-A = (-1, -2, 0) e AC= C-A = (-1, -2, 4) 3) Verificar se são linearmente independentes: AB= a x AC → (-1, -2, 0) = a x (-1, -2, 4). Neste caso, a = 1, a = 1 e a = 0. São linearmente independentes. 4) Verificar a norma: AB x AC = det . Não pode ser nulo, pois, são linearmente independentes. Logo AB x AC = -8i+4j+0K → Norma (-8, 4, 0) 5) Achar d: : -8x+4y+d = 0. Substituir o ponto A(1, 2, 1) na equação. -8.(1)+4.(2)+d=0. Sendo assim, d=0. 6) Encontrar a equação…

MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO POR UMA MATRIZ Seja p um número real e A uma matriz do tipo mxn. O produto do número p pela matriz A é a matriz B, formada pelos elementos de A multiplicados por p. Exemplo: Seja A = Exercício resolvido: Sejam as matrizes a) 2A b) 3B c) 2A + 3B , calcular: 30 Álgebra Linear Resolução: a) b) c) PROPRIEDADES Se A e B são matrizes do mesmo tipo, e se a e b são números reais, demonstram-se as seguintes propriedades: 1ª) Associativa a( b A) = (ab)A 2ª)…

Proposição 2.31 Dados dois vetores A e B, A − B = A + B se e somente se A · B = 0. Demonstração: Suponhamos que A − B = A + B . Temos que (A − B) · (A − B) = (A + B) · (A + B). Elevando ambos os membros ao quadrado temos: A · A + 2A · B + B · B = A · A − 2A · B + B · B, ou seja, A · B = 0. Isto mostra que A − B = A + B se e somente se A · B = 0. 2 30 Aula 2 2.6 Exercícios 2.6 - exercícios 1. Considere os pontos A e B abaixo, no plano, ou no espaço, e calcule A +…

Multiplicaremos a primeira linha por 2 para zerar o c. {-█(2a+4c=2@3a+4c=0)┤ Cortaremos os +4c ficaremos com: {█(-a=2)┤ a = -2 Se a = -2, substituiremos o a em uma das 2 equações e descobriremos o c {█(a+2c=1@-2+2c=1@2c=1+2@c=3/2)┤ c= 3/2 Resolvendo a segunda coluna Onde {-█(1b+2d=0 *(2)@3b+4d=1 )┤ Também multiplicaremos a primeira linha por 2 para zerar o d. {-█(2b+4d=0@3b+4d=1)┤ Cortamos o 4d ficamos com -b = -1…

uma equação completa do 2ºgrau pode ser obtida pela fórmula de Báskara. = b2 – 4ac discriminante da equação. Se 0 , podemos escrever : x= -b 2a Se < 0 , a equação não admite raízes reais. Exemplo: Resolver as equações: 1) x2 + 8x +12 = 0 Solução: 7 Temos a = 1 , b = 8 e c= 12 Calculando o valor de : = b2 – 4ac = (8)2 – 4 .1 . 12 = 64 – 48 = 16 x = -b ± 2a x = - 8 ± 4 = -8 ± 4 2.1 2 x1 = - 8 + 4 = -2 2 x2 = - 8 – 4 = - 6 2 As raízes da equação são x1 = -2 e x2 = - 6 V={- 6,- 2}…

para os cálculos. Nesse caso iremos agrupar de forma que as igualdades com as mesmas incógnitas fiquem juntas. 3a + 2c = 1 3b + 2d = 0 a = 0 b = 1 Situações como essas, devemos resolver esses sistemas de equações com duas incógnitas. 3a + 2c = 1 3b + 2d = 0 a = 0 b = 1 3.0 + 2.c = 1 3.1 + 2.d = 0 0 + 2.c = 1 3 + 2.d = 0 2c = 1 d = -3 2