Det 2a 3b 4c

. . . . ı v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 151 152 159 165 167 . 2 Equacoes Diferenciais Lineares de 2a Ordem ¸˜ ˆ 2.1 Equacoes Homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 2.1.1 Solucoes Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ ´ 2.1.2 Formula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

isto, multiplicamos a 1a. linha por 1/5.   1 1 0 3  2 4 1 10  1/5 × 1a. linha −→ 2a. linha 3 4 0 11 Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 1a. coluna, que ´e adicionamos `a 2a. linha, −2 vezes a 1a. linha e adicionamos `a 3a. linha,  1 1 0 3 −2×1a. linha + 2a. linha −→ 1a. linha   0 2 1 4 −3×1a. linha + 3a. linha −→ 3a. linha 0 1 0 2 a coluna do pivˆo, para isto, a. −3  vezes a 1 linha.   2a. elimina¸c˜ ao: Olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1a. linha.…

isto, multiplicamos a 1a. linha por 1/5.   1 1 0 3  2 4 1 10  1/5 × 1a. linha −→ 2a. linha 3 4 0 11 Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 1a. coluna, que ´e adicionamos `a 2a. linha, −2 vezes a 1a. linha e adicionamos `a 3a. linha,  1 1 0 3 −2×1a. linha + 2a. linha −→ 1a. linha   0 2 1 4 −3×1a. linha + 3a. linha −→ 3a. linha 0 1 0 2 a coluna do pivˆo, para isto, a. −3  vezes a 1 linha.   2a. elimina¸c˜ ao: Olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1a. linha.…

identidade! ê0 0 1ú ê1 0 1ú ê1 0 1ú êë úû êë úû êë úû 32. BA = 3I é 5 por 5, AB = 5I é 3 por 3, ABD = 5D é 3 por 1, ABD: Não, A(B + C): Não. 34. (linha 3) ⋅ x éSa3j xj e (A2)11 = (linha 1) ⋅ (coluna 1) = Sa1 jaj1. a+ b+ c= 4 35. a + 2b + 4c = 8 a + 3b + 9c = 14 resulta em a=2 b =1 . c =1 38. (a) Cada coluna é E vezes uma coluna de B. é1 0 ù é1 2 4 ù é 1 2 4 ù (b) EB = ê ú ê ú=ê ú. êë 1 1 úû êë 1 2 4 úû êë 2 4 8 úû As linhas de EB são combinações de linhas de…

identidade! ê0 0 1ú ê1 0 1ú ê1 0 1ú êë úû êë úû êë úû 32. BA = 3I é 5 por 5, AB = 5I é 3 por 3, ABD = 5D é 3 por 1, ABD: Não, A(B + C): Não. 34. (linha 3) ⋅ x éSa3j xj e (A2)11 = (linha 1) ⋅ (coluna 1) = Sa1 jaj1. a+ b+ c= 4 35. a + 2b + 4c = 8 a + 3b + 9c = 14 resulta em a=2 b =1 . c =1 38. (a) Cada coluna é E vezes uma coluna de B. é1 0 ù é1 2 4 ù é 1 2 4 ù (b) EB = ê ú ê ú=ê ú. êë 1 1 úû êë 1 2 4 úû êë 2 4 8 úû As linhas de EB são combinações de linhas de…

multiplicamos a 1a. linha por 1/5.   1 1 0 3  2 4 1 10  1/5 × 1a. linha −→ 2a. linha 3 4 0 11 Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 1a. coluna, que ´e adicionamos `a 2a. linha, −2 vezes a 1a. linha e adicionamos `a 3a. linha,  1 1 0 3 −2×1a. linha + 2a. linha −→ 1a. linha   0 2 1 4 −3×1a. linha + 3a. linha −→ 3a. linha 0 1 0 2 a coluna do pivˆo, para isto, a. −3  vezes a 1 linha.   2a. elimina¸c˜ ao: Olhamos para a sub-matriz obtida…

os outros elementos da primeira coluna e´ igual a 1 ele sera´ o primeiro pivo. a. ˆ para isto, adicionamos a` 2a. linha, −2 vezes a 1a. linha e adicionamos 1 coluna, que e´ a coluna do pivo, ´ a` 3a. linha, tambem, −2 vezes a 1a. linha.   −2×1a. linha + 2a. linha −→ 2a. linha −2×1a. linha + 3a. linha −→ 3a. linha 1 1 1 1000  0 −1 2 0  0 1 3 500   ˜ 2a. eliminac¸ao: Olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1a. linha. Escolhemos para pivoˆ um…

multiplicamos a 1   1 1 0 3 . .  2 4 1 10  1/5 × 1a linha −→ 2a linha 3 4 0 11 . Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 1a coluna, que ´ e a . linha, −2 vezes a 1a linha e adicionamos ` 3a linha, . adicionamos ` 2 a a .  1 1 0 3 . . . −2×1a linha + 2a linha −→ 1a linha   0 2 1 4 . . . −3×1a linha + 3a linha −→ 3a linha 0 1 0 2 a coluna do pivˆ, para isto, o . −3 vezes a 1a linha.    . 2a elimina¸˜o: ca . Olhamos para a…

. . . . . . . . . . . . . . 43 47 50 50 53 55 57 59 60 60 68 72 77 80 84 89 92 102 115 119 129 129 139 141 142 148 153 155 25 de Novembro de 2011 Sum´ rio a . 2 Equacoes Diferenciais Lineares de 2a Ordem ¸˜ 2.1 Equacoes Homogˆ neas - Parte I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ e 2.1.1 Solucoes Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 2.1.2 F´ rmula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .…

pivo. Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da a . coluna, que e a coluna do pivo, para isto, adicionamos a 2a linha, −2 vezes a 1a linha e adicionamos . ´ ˆ ` . 1 a a ` ´ a 3 . linha, tambem, −2 vezes a 1 . linha.   . . . −2×1a linha + 2a linha −→ 2a linha a . linha + 3a linha −→ 3a linha . . −2×1 1 1 1 1000  0 −1 2 0  0 1 3 500   . 2a eliminacao: ¸˜ . ˆ Olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1a linha. Escolhemos para…