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Exemplo 1 – EDO Exata ou não exata Continuação: Exemplo 2 – EDO Exata ou não exata Continuação: Exemplo 1 – Equação linear de 1ª ordem Exemplo 2 – Equação linear de 1ª ordem Exemplo 3 – Equação linear de 1ª ordem Equação de Bernoulli Uma EDO de Bernoulli, por definição, tem a forma: Método de resolução A ideia é fazer uma mudança de variável de modo a transformar essa EDO em uma EDO linear. De fato note que as EDO’s de Bernoulli são quase lineares. A mudança de variável é padrão é: Com essa mudança teremos uma EDO linear na variável w(x). Nos exemplos a seguir é possível obter-se um melhor entendimento. Exemplo 1 – Equação de Bernoulli Exemplo 2 – Equação de Bernoulli EDO’s de 2ª ordem Começaremos agora o estudo de EDO’s de segunda ordem. Primeiramente vamos estudar dois tipos de EDO’s que são redutíveis a primeira ordem, isso é, em algumas EDO’s de 2ª ordem podemos fazer uma mudança de variável que transforma a EDO original que é de segunda ordem em EDO’s

H(x) dx = G(x) + c. (3.1) Isto é, Φ(x) = G(x) + c é solução geral da edo: dΦ = H. dx 23 3.2 Edo’s de Variáveis Separáveis Exemplo 18. Considere a seguinte edo: dP α = − P, dt V onde α e V são constantes. Reescrevendo a equação (3.2), obtemos: d 1 dP α ln |P (t)| = =− . dt P dt V Integrando com respeito a t e usando (3.1), vemos que a solução geral da edo (3.2) é dada por α P (t) = c e− V t Vamos tentar generalizar o procedimento acima. O quê havia de especial nesta edo que nos…

Métodos Matemáticos 2012 –Notas de Aula Equações Diferenciais Ordinárias III A C Tort∗ 2 de outubro de 2012 Diferenciais inexatas e o fator integrante Vimos que a EDO implícita: M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0, (1) ∂M (x, y) ∂N (x, y) = . ∂y ∂x (2) P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0, (3) é exata se e apenas se: Suponha que não seja exata, mas que exista uma função F (x.y) tal que: F (x, y) P (x, y) dx + F (x, y) Q(x, y) dy = 0, (4) agora seja exata.…

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL ´ UNIDADE UNIVERSITARIA DE NOVA ANDRADINA ´ CURSO DE MATEMATICA CRISTIANO DA SILVA DOS ANJOS EQUACAO DE BERNOULLI E APLICACOES ¸˜ ¸˜ Nova Andradina-MS 2008 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL ´ UNIDADE UNIVERSITARIA DE NOVA ANDRADINA ´ CURSO DE MATEMATICA CRISTIANO DA SILVA DOS ANJOS EQUACAO DE BERNOULLI E APLICACOES ¸˜ ¸˜ Trabalho apresentado ao curso de Matem´tica de Licenciatura Plena, da a Universidade Estadual…

diferenciais ordinárias (1665-1690). • Gottfried Leibniz (1646-1716), alemão de Leipzig, é conhecido pelo seu desenvolvimento do cálculo (1684), pela notação da derivada que usamos (dy/dx), pelos métodos de separação de variáveis (1691), e métodos de EDOs de primeira ordem (1694). Prof.Dr.Marcos Roberto Bonfadini Um pouco de história Um pouco de história Os Bernoulli Leonard Euler (1707-1783) • Jakob Bernoulli (1654-1705) e Johann Bernoulli (1667-1748) cresceram…

UNIDADES: I – II – III – IV Equações Diferenciais: Se y é uma função de x, e n é um inteiro positivo, então uma relação de igualdade (que não se reduz a uma identidade) que envolva x, y, y', y'', ...,y(n) é chamada uma equação diferencial de ordem n. DEFINIÇÃO: Equação diferencial é uma equação que apresenta derivadas ou diferenciais de uma função desconhecida (a incógnita da equação). Ou seja, é uma equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas. Exemplos: 1. 4. ( …

separáveis e o procedimento para resolver equações lineares de primeira ordem em 1964”. (BOYCE & DIPRIMA, 2002, p. 14). Leibniz entendeu que as equações diferenciais se resumem em um conjunto de normas prontas para resolver determinados problemas. Os irmãos russos, Jakob (1654-1705) e Johann Bernoulli (1667-1748) foram um dos primeiros discípulos de Leibniz que contribuíram na evolução dessas equações. Jakob desenvolveu um estudo detalhado a respeito das Equações de Bernoulli, as…

Tipos de EDO: Lineares: Homogêneas de Qualquer Ordem (Coeficientes constantes): São EDO’s do tipo: f(x,y,y’,y’’,y’’’,y’’’’,...,y^n) = 0 Método de solução: Polinômio característico: Associar cada coeficiente multiplicando as derivadas a uma incógnita “r” elevada ao grau da derivada, as raízes do polinômio serão os valores que darão as soluções. Separamos em 3 tipos: N Raizes Reais Distintas: A Solução é dada por , onde r1,r2,rn são raízes do polinômio Raízes reais de…

1. EDO DE PRIMEIRA ORDEM y’ + p(x).y = g(x) 2.1. Caso geral – fator integrante Multiplica-se o primeiro lado da equação por uma função u(x) cujo produto deve ser igual a [u(x).y]’. Faz-se os cálculos para descobrir u(x). Volta-se à equação original que ficará na forma [u(x).y]’ = g(x).u(x). Assim, obtém-se que u(x).y = ux.gx.dx, e portanto y = 1u(x)gx.ux.dx. u(x) sempre será equivalente a epx.dx, então pode-se alternativamente utilizar esse fator integrante diretamente,…

independente na Matemática, impulsionada por matemáticos famosos como Euler, Lagrange e Laplace, entre outros, que estudaram as equações diferenciais ordinárias no Cálculo das Variações, na Mecânica Celeste, na Dinâmica dos Fuidos, etc. No século XIX os fundamentos da Matématica experimentaram uma revisão geral, fixando com exatidão conceitos até então nebulosos. Matemáticos como Cauchy, Gauss, Riemann e principalmente Poincaré são referências obrigatórias no estudo moderno das equações…