Resumo Equações Diferenciais

Tipos de EDO:
Lineares:
Homogêneas de Qualquer Ordem (Coeficientes constantes):
São EDO’s do tipo: f(x,y,y’,y’’,y’’’,y’’’’,...,y^n) = 0
Método de solução: Polinômio característico:
Associar cada coeficiente multiplicando as derivadas a uma incógnita “r” elevada ao grau da derivada, as raízes do polinômio serão os valores que darão as soluções.
Separamos em 3 tipos:
N Raizes Reais Distintas:
A Solução é dada por , onde r1,r2,rn são raízes do polinômio
Raízes reais de Multiplicidade N
A Solução é dada por , onde r é a raíz do polinômio
Raízes complexas:
A solução é dada por , onde α e β são respectivamente a parte real e a parte imaginária das raizes completas (α ± βi).
Exercícios:
a) y’’ + 2y’ + y = 0
b)y’’ – 6y’ + 9y=0
c)y’’ + 2y’ + 5y=0

Primeira Ordem Não-Homogênea:
São EDO’s do tipo y’ + a(t)y = b(t).
Método de Solução: Fator Integrante.
Buscamos uma função tal que seja a derivada de um produto, no caso .
Assim a equação pode ser reescrita como
, essa equação pode ser facilmente resolvida, onde
A função é dada por .
Exemplo:

Exercicios:
a) y’ -4y = x
b) ty’ + 2y = t³

Segunda Ordem Não-Homogênea:
Uma EDO de Segunda ordem não homogênea é do tipo: onde a,b,c são constantes reais.
Para solucionar esse tipo de equação buscamos as soluções fundamentais da homogênea associada, e formulamos uma solução particular() tal quer:
1º -
2º -
3º -
Onde a primeira e a segunda proposições são impostas e a terceira é uma consequência das duas primeiras.
Para chegar a isso devemos supor 1º e 2º e depois derivar a função duas vezes e substituir na equação, esse passo é sempre importante quando a solução é extremamente complicada e não puder ser facilmente resolvida com o sistema entre as equações 2º e 3º.

Para Facilitar contas pode-se tomar 3 casos particulares:
Antes vamos estabelecer algumas equações que serão utilizadas:

1º Caso:
F(t) = a(t);
Buscamos Solução partícula onde = A(t).
Onde S e os