Tarefa 7

1. Qual a interpretação dada pelas Geometrias Não Euclidianas ao 5º postulado de Euclides?
Se tratando de geometria euclidiana temos o quinto postulados, que trata de retas paralelas: Seja r uma reta e P um ponto fora da reta , existe somente uma reta que passa por P e que não se cruza com R , ou seja , que é paralela à r. Na geometria hiperbólica , admite-se que há pelo menos duas retas paralelas a r, passando por p, de modo que o postulado das paralelas é falso. Ao falarmos de geometria elíptica temos uma reta r e um ponto P, que não pertence a r, de modo que não existe uma reta paralela a r passando por P.
2. Na Geometria Euclidiana temos o teorema: “A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°”. Como as Geometrias Hiperbólica e Elíptica interpretam esse teorema?
Quando tratamos da geometria elíptica os triângulos possuem sempre ângulos internos cujas somas são maiores que 180°. Conforme a Figura 1 abaixo:
Figura 1 Fonte: http://es.wikipedia.org/wiki/Introducción_matemática_a_la_relatividad_general
Na de geometria hiperbólica a soma dos ângulos internos dos triângulos são sempre menores que 180°. Conforme a Figura 2 abaixo:
Figura 2 Fonte: http://es.wikipedia.org/wiki/Introducción_matemática_a_la_relatividad_general
3. Qual a noção de reta e superfície na Geometria Hiperbólica?
Na geometria hiperbólica uma reta passando por AB, dentro do plano hiperbólico, será formada a partir de arco de círculos ortogonais e que passa pelos pontos AB, conforme a Figura 3, abaixo. A superfície na Geometria Hiperbólica deve ser vista como uma curvatura ligeiramente côncava.
Figura 3 Fonte: http://im.ufrj.br/~risk/diversos/psegret.htm

4. Qual a noção de reta e superfície na Geometria Elíptica?
Na geometria elíptica a reta tem um formato de corda de circunferência e segundo Thomaz e Franco (2008) outra característica da reta na geometria elíptica é que essa perde sua característica infinita, passando a ser limitada Figura 4. A superfície na