Geografia dos tomates

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1. EDO DE PRIMEIRA ORDEM
y’ + p(x).y = g(x)

2.1. Caso geral – fator integrante
Multiplica-se o primeiro lado da equação por uma função u(x) cujo produto deve ser igual a [u(x).y]’. Faz-se os cálculos para descobrir u(x). Volta-se à equação original que ficará na forma [u(x).y]’ = g(x).u(x). Assim, obtém-se que u(x).y = ux.gx.dx, e portanto y = 1u(x)gx.ux.dx.
u(x) sempre seráequivalente a epx.dx, então pode-se alternativamente utilizar esse fator integrante diretamente, multiplicando-o pelos dois lados da equação.
Para os problemas de valor inicial, deve-se substituir o valor inicial de x na função, com o resultado sendo o valor inicial de y. Assim, descobre-se o valor da constante resultante da integral final, e substitui o seu valor em y.

2.2. Equações separáveisSe a equação pode ser colocada na forma f(x).dx = g(y).dy, ela é separável. Basta coloca-las dessa forma e integrar os dois lados.

2.3. Equação de Bernoulli
y’ + p(x).y = g(x).yn
Se n ≠0 e n≠1, usa-se mudança de variável. Toma-se v = y1-n e v’ = (1-n).y-n.y’. Não se deve esquecer de incluir a derivada de y (y’), pois y é uma função de x.
Isola-se o y’, obtendo-se: y’ =11-n.yn.v’.
Substitui-se essa expressão de y’ na equação original. Sempre será necessário dividir a equação resultante por yn, por dois motivos: primeiro, para eliminá-lo do primeiro termo do primeiro lado da equação e do segundo lado da equação, e segundo para no segundo termo do primeiro lado aparecer o yn-1, que equivale a v, devendo portanto ser substituído por este. Por fim, divide-se oumultiplica-se a equação por algum valor de modo que v’ fique sem coeficientes, obtendo-se assim uma EDO de primeiro grau. Resolvendo a EDO, obtém-se o valor de v, possibilitando a obtenção do valor de y.
*possível exercício da prova: Equação de Bernoulli com “n” irracional.

2.4. Equações exatas
É um dos métodos para resolver equações que não são lineares e nem separáveis.
Considera-se umafunção g(x,y), sendo y uma função de x. O diferencial de g(x,y) se dá por: ddx gx,y= ∂g∂x + ∂g∂y.dydx=0
Chamando ∂g∂x de M(x,y) e ∂g∂y de N(x,y), a expressão pode ser escrita como ddx gx,y=Mx,y+Nn,y.y' = 0
Para a equação ser exata, deve existir uma função g(x,y) tal que ∂g∂x=Mx,ye ∂g∂y=N(x,y), e além disso, ∂∂y M(x,y) deve ser igual a ∂∂x N(x,y).
Em palavras simplificadas, a equação deveser igual a zero e passível de ser dividida em duas funções de x e y. Uma delas, “solta”, e a outra sendo multiplicada por y’. A primeira é M, e a segunda é N. A derivada parcial de M em relação a y deve ser igual a derivada parcial de N em relação a X. Esses requisitos a tornam uma equação exata. Assim, deve existir uma função g(x,y) cuja derivada seja equivalente a equação original – sua derivadaem relação a x igual a M, e sua derivada em relação a y igual a N.
Uma vez identificados M e N, e verificado que a função é de fato exata, integra-se a equação M(x,y). No resultado da integral, há uma constante, que pode ser uma função de y. Logo, será adicionado o termo h(y) à integral. Esse resultado obtido é equivalente a g(x,y).
Resta, portanto, determinar o valor de h(y) que édesconhecido. Deriva-se portanto g(x,y) em relação a y. O resultado obtido é igual a N(x,y). Iguala-se os termos. O primeiro termo terá a incógnita h’(y), e está será descoberta resolvendo a equação. Descoberto h’(y), integra-se esse valor, para obter h(y). Esse valor obtido é substituído na equação g(x,y) encontrada anteriormente. Esse é o resultado final.
Vale lembrar que, as vezes, é mais simplesintegrar N(x,y) ao invés de M(x,y), e isso pode ser feito normalmente.

2.5. Equações não exatas
Quando a equação não é exata (My ≠ Nx), deve-se encontrar um fator integrante u(x) que a torne exata.
Devemos ter que u(My – Nx) + uyM – uxN = 0;
Neste procedimento, u(x) pode ser uma função que dependa apenas de x, apenas de y, ou de ambas.
2.6.1. u(x) dependente apenas de x
Por...
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