Transformada de laplace

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Análise Dinâmica de Sistemas Amostrados





Resposta ao Degrau Unitário



Assumindo que o denominador tenha n raízes distintas, por expansão em frações parciais:



Se pi < 1,i=1, 2, ..., n
k  todos os termos, exceto R0 desparecem, e y()= R0 .
Se alguma raiz não satisfizer esta condição y()=.

Resposta a uma Seqüência Arbitrária


Para o impulso, u(z)=1 e .Por expansão em frações parciais (e definindo ):

são os polos da função de transferência.
Sendo
tem-se:


Efeito de Tempo Morto
Tempo morto de D períodos de amostragem. Para primeiraordem com tempo morto:





onde é obtido a partir de g(z) sem atraso.

A presença de tempo morto será sempre anunciada pelo comum a todos os termos do numerador.




FormaBackward Shift

como a transformada inversa de fornece f(k-1), z-1 funciona como um operador “backward shift”.


Características Fundamentais da FT

Ganho de estado estacionário:

.

Polos:n raízes de A(z-1)=0. Um tempo morto de D contribui com D poloos adicionais.

Zeros:

m raízes de B(z-1)=0


Exemplos

1)

K=b/(1-a)

N=1, m=0 e D=0 n(não tem tempo morto)
Tem umpolo em z=a .


2)

Reconhecendo TM pela presença de z-1 no numerador: D=1.
N=1, m=0
K=b/(1-a).

Relação s  z:








Polos dentro do círculo unitário são estáveis.Parâmetros de um sistema de 2a ordem no plano z:







No MATLAB, a conversão de contínuo para digital é feita pela função:

[numDz,denDz] = c2dm (num,den,Ts,'zoh')
[F,G,H,J] = c2dm(A,B,C,D,Ts,'zoh')

Exemplo:

Suponha a seguinte função de transferência

• M = 1 kg
• b = 10 N.s/m
• k = 20 N/m
• F(s) = 1
Adotando Ts=1/100s, criamos o m-file:
M=1;
b=10;
k=20;num=[1];
den=[M b k];
Ts=1/100;
[numDz,denDz]=c2dm(num,den,Ts,'zoh')

Rodando este arquivo no janela de comando fornece:

numDz =
1.0e-04 *
0 0.4837 0.4678

denDz...
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