Series de fourier

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AGG0243 - Métodos Matemáticos em Geofísica
Séries de Fourier: Exemplo ilustrativo.
Os exemplos apresentados a seguir
ilustram o desenvolvimento de funções
periódicas em série de Fourier e aaplicação das séries de Fourier à
solução de equações diferenciais
ordinárias.

Visualização Gráfica

Como é fácil constatar, a função (1)
satisfaz o critério de Dirichlet, o que
garante aconvergência de sua série de
Fourier.
A seguir mostra-se alguns gráficos que
ilustram os resultados obtidos.

EXEMPLO 1 - Seja a função periódica
com período T, dada por:
⎧+ 1, 0 ≤ t < T / 2
f (t ) =⎨
⎩ 0, T / 2 ≤ t < T

A Figura 1 mostra o diagrama cobrindo
três períodos da função f (t ) , definida
por (1), tomando-se para o período o
valor T = 6 .

(1)

Considere-se o desenvolvimento dafunção dada em série de Fourier. A série
de Fourier na forma real é dada por

A Figura 2 mostra os cinqüenta
primeiros termos individuais da série
(3), isto é, o gráfico das funções
1 2 sin ωt2 sin 3ωt 2 sin 5ωt
2 sin 99ωt
, L,
,
,
,
2
π


99π
para 0 ≤ t < 6 com ω = 2π / T = π / 3 .



f (t ) = a0 + ∑ (ak cos kωt + bk sin kωt )
k =1

onde ω =


.
T

(2)

Aseguir, as Figuras de 3 a 11 ilustram a
convergência da série de Fourier (3),
mostrando o gráfico da série truncada
em n termos, para
n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 20, 50 .

Aplicando as fórmulasde Fourier-Euler
à função f (t ) dada por (1):
T /2

a0 =

1
f (t ) dt
T −T∫/ 2

Conforme se observa, à medida em que
aumenta o número de termos da série, a
mesma converge para a função f(t ) ,
definida por (1).

T /2

ak =

2
f (t ) cos kωt dt
T −T∫/ 2
T /2

2
f (t ) sin kωt dt
T −T∫/ 2
chega-se aos valores
a0 = 1 / 2
bk =

ak = 0, k = 1, 2, L

⎧2
⎪ , k ímpar
bk= ⎨ kπ
⎪0, k par

Desse modo, a série de Fourier de f (t )
definida por (1) escreve-se como:
f (t ) =

1 2 ⎛ sin ωt sin 3ωt sin 5ωt

+⎜
+
+
+ L⎟
2 π⎝ 1
3
5


(3)
1...
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