Series de fourier

AGG0243 - Métodos Matemáticos em Geofísica
Séries de Fourier: Exemplo ilustrativo.
Os exemplos apresentados a seguir ilustram o desenvolvimento de funções periódicas em série de Fourier e a aplicação das séries de Fourier à solução de equações diferenciais ordinárias. Visualização Gráfica

Como é fácil constatar, a função (1) satisfaz o critério de Dirichlet, o que garante a convergência de sua série de
Fourier.
A seguir mostra-se alguns gráficos que ilustram os resultados obtidos.

EXEMPLO 1 - Seja a função periódica com período T, dada por:
⎧+ 1, 0 ≤ t < T / 2 f (t ) = ⎨
⎩ 0, T / 2 ≤ t < T

A Figura 1 mostra o diagrama cobrindo três períodos da função f (t ) , definida por (1), tomando-se para o período o valor T = 6 .

(1)

Considere-se o desenvolvimento da função dada em série de Fourier. A série de Fourier na forma real é dada por

A Figura 2 mostra os cinqüenta primeiros termos individuais da série
(3), isto é, o gráfico das funções
1 2 sin ωt 2 sin 3ωt 2 sin 5ωt
2 sin 99ωt
, L,
,
,
,
2 π 3π
5π
99π para 0 ≤ t < 6 com ω = 2π / T = π / 3 .

∞

f (t ) = a0 + ∑ (ak cos kωt + bk sin kωt ) k =1

onde ω =

2π
.
T

(2)

A seguir, as Figuras de 3 a 11 ilustram a convergência da série de Fourier (3), mostrando o gráfico da série truncada em n termos, para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 20, 50 .

Aplicando as fórmulas de Fourier-Euler à função f (t ) dada por (1):
T /2

a0 =

1 f (t ) dt
T −T∫/ 2

Conforme se observa, à medida em que aumenta o número de termos da série, a mesma converge para a função f (t ) , definida por (1).

T /2

ak =

2 f (t ) cos kωt dt
T −T∫/ 2
T /2

2 f (t ) sin kωt dt
T −T∫/ 2 chega-se aos valores a0 = 1 / 2 bk =

ak = 0, k = 1, 2, L

⎧2
⎪ , k ímpar bk = ⎨ kπ
⎪0, k par
⎩
Desse modo, a série de Fourier de f (t ) definida por (1) escreve-se como: f (t ) =

1 2 ⎛ sin ωt sin 3ωt sin 5ωt
⎞
+⎜
+
+
+ L⎟
2 π⎝ 1
3
5
⎠

(3)
1

Figura